क्षेत्रीय गणित ओलिंपियाड – 2013

समय: तीन घंटा

दिसम्बर 01, 2013

निर्देश:

· किसी भी तरह कैलकुलेतर तथा चांदा (protractor) के उपयीग की अनुमति नहीं है।

· पैमाना (ruler) तथा परकार (compass) उपयीग किये जा सकते हैं।

· सभी प्रश्नों का उत्तर दीजिये।

· सभी प्रश्नों के अंक समान हैं। अधिकतम अंक: 102

· प्रत्येक प्रश्न के उत्तर का आरम्भ नए पेज से कीजिये। प्रश्न संख्या स्पष्ट रूप से इंगित कीजिये।

 

1. मान लीजिये कि ABC एक न्युनकोण त्रिभुज है। वृत्त Gamma जिसका व्यास BC है, AB तथा AC को क्रमश: P तथा Q पर काटना है। यढि त्रिभुज APQ का लंबकेंढ्र Gamma की परिधि पर है तो angle BAC का मान ज्ञात कीजिये।

 

2. मान लीजिये f(x)=x^3+ax^2+bx+c तथा g(x)=x^3+bx^2+cx+a जहाँ a,b,c पूर्णांक हैं तथा cneq 0 । यह भी मानिये की निम्नलिखित शर्तें संतुष्ट होती हैं:

(a) f(1)=0;

(b) समीकरण g(x)=0 के मूल समीकरण f(x)=0 के मूल का वर्ग हैं।

तब a^{2013}+b^{2013}+c^{2013} का मान ज्ञात कीजिये।

 

3. वह समी अभाज्य संख्याएँ p तथा q ज्ञात कीजिये जबकि q^2-4 को p तथा p^2-1 की q पूर्णत: विभाजित करता हो।

 

4. दस पूर्णांकों के ऐसे युग्मों (a_1,a_2,dots ,a_{10}) की कुल संख्या ज्ञात कीजिये जिसमें कि |a|leq 1 तथा

a_1^2+a_2^2+dots +a_{10}^2-a_1a_2-a_2a_3-a_3a_4-dots -a_9a_{10}-a_{10}a_1=2.

 

5. मान लीजिये कि ABC एक त्रिभुज है जिसमें कि angle A=90^{circ} तथा AB=AC । मान लीजिये कि बिंदु D तथा E अनुभाग BC पर इस तरह हैं कि BD:DE:EC=3:5:4 । सिद्ध कीजिये कि angle DAE=45^{circ}

 

6. मान लीजिये कि m तथा n पूर्णांक इस तरह हैं की द्रिघात समीकरण x^2+mx-n=0 तथा x^2-mx+n=0 के मूल पूर्णांक हैं। सिद्ध कीजिये कि n को 6 पूर्णत: विभाजित करता है।

 

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