এটা অতুলনীয় অনুপাত : φ (ফাই)

 

সমাপ্ত দশমিক বা (অসমাপ্ত) পৌনঃপুনিক দশমিক হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰা সংখ্যাবোৰেই হ’ল অপৰিমেয় সংখ্যা। তেনেধৰণৰ অতি চিনাকি অপৰিমেয় সংখ্যা এটা হ’ল pi (পাই) যাৰ মোটামুটি মান ৩.১৪১৬...।

এই প্ৰবন্ধটিত আমি অন্য এটা অপৰিমেয় সংখ্যাৰ কথা আলোচনা কৰিব খুজিছোঁ। ইয়াক গ্ৰীক আখৰ Phi (ফাই)ৰে বুজোৱা হয়। বৃত্তৰ পৰিধি আৰু ব্যাসৰ অনুপাতেই হ’ল আমাৰ চিনাকি অপৰিমেয় সংখ্যা pi । তেনেদৰে এক বিশেষ ধৰণৰ অনুপাতৰ সাহয়ত আমি আলোচনা কৰিব খোজা Phi সংখ্যাটো এনেদৰে বৰ্ণোৱা হয়: AB ৰেখাখণ্ডক O বিন্দুত এনেদৰে দুটুকুৰা কৰা হ’ল যে

AB : AO = AO : OB . . .(1)

AO = x আৰু OB=1 ধৰিলে আমি পাওঁ

frac{x+1}{x}=frac{x}{1} x^{2}-x-1=0 . . . (2)

x যিহেতু ধনাত্মক সংখ্যাহে হ’ব লাগিব, ওপৰৰ দ্বিঘাট সমীকৰণটোৰ পৰা আমি পাম

x=frac{1+sqrt{5}}{2}

x ৰ এই মানটোকেই Phi ৰে বুজুৱা হয়। ইয়াত Phi=1.61803398

এটা মন কৰিবলগীয়া কথা হ’ল এই যে (2)ত x -অৰ ঠাইত frac{1}{x} লিখিলে আমি পাম x^{2}+x+1=0 বা x=frac{-1+sqrt{5}}{2}=.61803398dots অৰ্থাৎ (1)অত AO=1 ধৰিলে OB ৰ দৈৰ্ঘ্য হ’ব .61803398… । (2)ৰ পৰা এইটোও স্পষ্ট হয় যে এই Phi য়েই হ’ল একমাত্ৰ ধনাত্মক সংখ্যা যাৰ পৰা 1 বিয়োগ কৰিলে সংখ্যাটোৰ প্ৰতিক্ৰম (reciprocal) পোৱা যায়।

ওপৰত বৰ্ণোৱা ৰেখাখণ্ডৰ এই বিশেষ অনুপাতটোকেই সুৱৰ্ণ অনুপাত (Golden Ratio) বুলি অভিহিত কৰিছে। এই সংখ্যাটোৰ মন কৰিবলগীয়া সহজ বিশেষত্ব দুটা আছে:

(i) Phi=1+frac{1}{1+frac{1}{1+dots}}

(ii)Phi=sqrt{1+sqrt{1+sqrt{1+dots}}}

(i)অত Phi=1+frac{1}{Phi} , গতিকে Phi^{2}-Phi-1=0

(ii)অত Phi=sqrt{1+Phi} , গতিকে Phi^{2}-Phi-1=0 ;

অৰ্থাৎ ওপৰৰ অবিৰত ভগ্নাংশ আৰু অবিৰত বৰ্গমূল- এই দুয়োটাই Phi বুজায়।

pi ৰ দৰে Phi কো বৃত্ত এটাৰ লগত জড়িত কৰি চাব পাৰি। সেয়া হ’ল:

কোনো বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ আৰু তাৰ পৰিগতকৈ অঁকা সুষম দশভূজ এটাৰ বাহুৰ অনুপাতটো Phi ৰ সমান (ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলে ভাবি চাব পাৰে)।

এতিয়া Phi জড়িত হৈ থকা কেইটামান ধুনীয়া সমতলীয় জ্যামিতিক চিত্ৰৰ উল্লেখ কৰিম। এই উদাহৰণকেইটা উল্লেখ কৰোতে প্ৰয়োজন হোৱা দুটা বিশেষ সংজ্ঞা আমি প্ৰথমে দি লওঁহক:

(1) কোনো আয়তক্ষেত্ৰৰ দীঘল বাহু আৰু চুটি বাহুৰ অনুপাত Phi সংখ্যাটোৰ সমান হ’লে (অৰ্থাৎ বাহু দুটা যদি সুৱৰ্ণ অনুপাতত থাকে) ইয়াক এটা সুৱৰ্ণায়ত বা স্বৰ্ণায়ত (Golden Rectangle) বুলি ক’ম।

(2) কোনো সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজৰ সমান বাহু দুটাৰ প্ৰতিটো আৰু ভূমিৰ (তৃতীয় বাহু) আনুপাত যদি Phi ৰ সমান হয় তেনেহ’লে ত্ৰিভূজটোক সুৱৰ্ণ ত্ৰিভূজ বুলি ক’ম।

এতিয়া আমি উল্লেখ কৰিব খোজো প্ৰথমটো জ্যামিতিক চিত্ৰ:

ABCD এটা সুৱৰ্ণায়ত। ইয়াৰ এমূৰৰ পৰা ABML বৰ্গক্ষেত্ৰটো কাটি লোৱা হ’ল। ৰৈ গ’ল LMCD আয়তটো। ই এটা সুৱৰ্ণায়ত, কাৰণ AD=frac{1+sqrt{5}}{2} আৰু AB=1 হ’লে LD=frac{-1+sqrt{5}}{2}=frac{2}{1+sqrt{5}} আৰু  তেতিয়া LM:LD=frac{sqrt{5}+1}{2} । LMCD ৰ পৰা LSTD বৰ্গক্ষেত্ৰটো কাটি ল’লে ৰৈ যোৱা আয়ত SMCT এটা সুৱৰ্ণায়ত। কিয়নো ইাত ST=frac{2}{1+sqrt{5}} , SM=1-frac{2}{1+sqrt{5}}=frac{sqrt{5}-1}{1+sqrt{5}} । গতিকে ST:SM=frac{2}{1+sqrt{5}}=frac{sqrt{5}+1}{2} । এনেদৰে ক্ৰমান্বয়ে সৰু হৈ যওৱা অসীম সংখ্যক সুৱৰ্ণায়ত পাই থাকিব। সুৱৰ্ণায়তবোৰৰ দীঘল বাহুবোৰক সুৱৰ্ণ অনুপাতত ভাগ কৰি পোৱা L, T, N, R, U, V, … ইত্যাদি বিন্দুবোৰ অসীম অন্তৰ্মুখী ঘাতাংকীয় কুণ্ডলী (spiral) এটাৰ ওপৰত থাকে। কুণ্ডলীৰ মেৰুটো থাকে AC আৰু DM কৰ্ণ দুডালৰ ছেদবিন্দুত।

READ:   Mathletics 2015 Question Papers

দ্বিতীয় জ্যামিতিক চিত্ৰ:

ABCD এটা সুৱৰ্ণ ত্ৰিভূজ। ইয়াৰ AB(=AC):BC=frac{1+sqrt{5}}{2}:1 আৰু

angle ABC= angle ACD=72^{circ} , angle BAC=36^{circ} (কেনেকৈ হ’ল ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলে অলপ মন কৰিলেই উলিয়াব পাৰিব)। যিহেতু ত্ৰিভূজৰ শীৰ্ষকোণৰ সমদ্বিখণ্ডকে বিপৰীত বাহুক বাকী দুটা বাহুৰ অনুপাতত ভাগ কৰে, CD য়ে AB ক D বিন্দুত সুৱৰ্ণ অনুপাতত ভাগ কৰিব। আৰু তেতিয়া ABC সদৃশ সুৱৰ্ণ ত্ৰিভূজ হ’ব। এতিয়া $angle B$ কোণৰ সমদ্বিখণ্ডকে CD বাহুক E বিন্দুত সুৱৰ্ণ অনুপাতত ভাগ কৰিব আৰু DBE এটা সদৃশ সুৱৰ্ণ ত্ৰিভূজ পোৱা যাব। একেদৰে DBE ৰ পৰা আৰু এটা ইয়াৰ সদৃশ সুৱৰ্ণ ত্ৰিভূজ পোৱা যাব, ইত্যাদি। এই ত্ৰিভূজবোৰৰ A, C, B, E, F, G, H, … ইত্যাদি শীৰ্ষ বিন্দুবোৰ ওপৰত কৈ অহা ঘাতাংকীয় কুণ্ডলীৰ ওপৰত থাকিব আৰু ইয়াৰ মেৰু থাকিব BM আৰু DL মাধ্যিকী দুডালৰ ছেদবিন্দুত।

Phi সম্পৰ্কীয় তৃতীয়টো জ্যামিতিক চিত্ৰৰ সন্দৰ্ভত আমি প্ৰথমতে তলৰ অনুক্ৰমটো মন কৰোহঁক:

১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ... এই সংখ্যাবোৰ এনেদৰে সজোৱা হৈছে যে কোনো এটা সংখ্যা ইয়াৰ আগৰ দুটাৰ যোগফল। সংখ্যাৰ এই অনুক্ৰমটোক ‘ফিবোনাচি’ শ্ৰেণী (Fibonacci series) বোলে। লেঅ’নাৰ্ড ফিবেনাচি (সম্ভৱতঃ 1170 AD- 1230 AD) নামৰ ইটালীৰ পিছা নগৰীৰ গণিতজ্ঞ এজনে প্ৰথমে এই অনুক্ৰমটো উলিয়াই। এই অনুক্ৰমটোৰ দুটা ক্ৰমিক পদৰ অনুপাতৰ অনুক্ৰমটো Phi সংখ্যাটোলৈ অভিসৰণ কৰে। কিয়নো, উল্লিখিত ফিবোনাচি শ্ৰেণীৰ nতম পদটো t_{n} হ’লে, t_{n-1}+t_{n-2} । তেতিয়া ওপৰত বৰ্ণোৱা দুটা ক্ৰমিক পদৰ অনুপাতৰ অনুক্ৰমটোৰ nতম পদটো T_{n}=frac{t_{n}}{t_{n-1}}=frac{t_{n-1}+t_{n-2}}{t_{n-1}}=1+frac{t_{n-2}}{t_{n-1}} বা T_{n}=1+frac{1}{frac{t_{n-1}}{t_{n-2}}} । গতিকে n-অৰ মান ডাঙৰ কৰি গৈ থাকিলে T_{n} অৰ মান 1+frac{1}{1+frac{1}{1+dots}} অৰ্থাৎ Phi লৈ বুলি আগবাঢ়িব (অৰ্থাৎ যদি nrightarrowinfty তেন্তে T_{n}rightarrowPhi )।

তলৰ জ্যামিতিক ব্যাখ্যাই ওপৰৰ অভিসৰণটো প্ৰদৰ্শন কৰে:

A আৰু B যি কোনো বাহুৰ দুটা বৰ্গক্ষেত্ৰ চিত্ৰত দেখুওৱাৰ দৰে লোৱা হৈছে। C বৰ্গক্ষেত্ৰ বাহু A আৰু Bৰ বাহুৰ যোগফল, Dৰ বাহু B আৰু Cৰ যোগফল, Eৰ বাহু C আৰু Dৰ বাহুৰ যোগফল ইত্যাদি। এনেদৰে লোৱা হ’লে A আৰু B যেনে ধৰণৰ বৰ্গক্ষেত্ৰয়েই লোৱা নহওক কিয়-

A, A+B, A+B+C, A+B+C+D, A+B+C+D+E+…. ইত্যাদি আয়তবোৰ ক্ৰমে সুৱৰ্ণ আয়তলৈ বুলি আগবাঢ়ে।

পুৰণি গ্ৰীচ দেশত সুৱৰ্ণ অনুপাতটো এটা চিনাকি অনুপাতেই আছিল। আমেৰিকা যুক্তৰাষ্ট্ৰৰ গণিতজ্ঞ মাৰ্ক বাৰে (Mark Barr) প্ৰায় ৭৫ বছৰ আগতে এই অনুপাতটোক ফাই (Phi) নামেৰ নামাকৰণ কৰে। মহান ফিডিয়াছৰ (Phidias) নামটো গ্ৰীক ভাষাত লিখিলে Phi আখৰে আৰম্ভ হয়। “ফিডিয়াছ্ (৪৯০-৪৩০ খ্ৰী,পূ.) এথেনীয় স্থপতিবিদ, প্ৰখ্যাত স্থপতিবিদসকলৰ মাজৰ এজন। তেওঁ পাৰ্থেননৰ সজ্জা আৰু সম্ভৱতঃ নক্সাৰ নিৰ্দেশনা দিছিল। ফিডিয়াছৰ সম্পৰ্কত কিম্বদন্তী আছে যে, অকলে তেওঁহে দেৱতাৰ সঠিক প্ৰতিবিম্ব দেখা পাইছিল আৰু ইয়াকেই তেওঁ মানুহৰ আগলৈ উলিয়াই দিছিল।” (এনচাইক্ল’পিডিয়া-ব্ৰিটানিকা)এই ফিডিয়াচে তেওঁৰ ভাস্কৰ্যত প্ৰয়েই সুৱৰ্ণ অনুপাত ব্যৱহাৰ কৰিছিল।

বহুতো মধ্যযুগীয় আৰু নবন্যাসৰ সময়ৰ গণিতজ্ঞ (যেনে, কেপলাৰ আদি) ‘ফাই’ৰ প্ৰতি মোহান্ধ হৈ যেনিবা বিবুধিত পৰিছিল। H.S.M. Coxeter এ “The Golden Section and Phyllotaxis” (in Introduction to Geometry, Chapter II, John Wileyand Sons Ltd., 1961) ত কেপলাৰৰ উদ্ধিতি দিছে এনেদৰে- “জ্যামিতিৰ দুটা মহান ৰত্ন আছে। এটা হ’ল- পাইথাগোৰাচৰ উপপাদ্য আৰু আনটো হ’ল এটা সৰলৰেখাক প্ৰান্ত (extreme) আৰু মধ্যম (mean) অনুপাতত বিভক্তকৰণ। প্ৰথমটোক আমি যদি সোণৰ মূল্যৰ বুলি কওঁ, তেনেহ’লে বাকীটোক আমি কওঁ এটা মূল্যৱান বাখৰ বুলি।”

READ:   ৰামানুজন - গণিতজ্ঞ আৰু মানুহজন : অধ্যায় F : ৰামানুজনৰ প্ৰবাসী জীৱন

নবন্যাসৰ সময়ৰ লিখকসকলে এই অনুপাতটোক ‘স্বৰ্গীয় আনুপাত’ বা ‘দৈৱিক অনুপাত’ (Divine Proposition) বুলিছিল। ঊনৈশ শতিকাৰ শেষৰ ফালে ই ‘গোল্ডেন চেকচন’ (Golden Section) নাম পায়। লিঅ’নাৰ্ড-ডা-ভিন্সিৰ দ্বাৰা ব্যাখ্যাকৃত Lucas Pacioli ৰ ‘De Divina Proportione’ নামৰ কিতাপখন Phiৰ সমতলীয় আৰু ত্ৰিমাত্ৰিক জ্যামিতিৰ চিত্ৰৰ এখন সংক্ষিপ্তসাৰ।

“বিজ্ঞানীসকলে প্ৰকৃতিত (ফিব’নাচি শ্ৰেণীত) সংখ্যা আৱিষ্কাৰ কৰিবলৈ ধৰিলে, যেনে- সূৰ্যমুখী ফুলৰ মূৰৰ সৰ্পিলৰ মাজত, সৰল গছৰ শংকুত (pine-cone), মতা মৌৰ সাধাৰণ ‘ৰেঘুলাৰ ডিছেণ্ট’ (জিনিঅ’লজি) শামুকৰ খোলাৰ স’তে জড়িত হৈ থকা সদৃশকোণী সৰ্পিলত, গছৰ কাণ্ডৰ পাতৰ কলিৰ সজ্জাত, জন্তুৰ শিঙত ইত্যাদি।” (এনচাইক্ল’পিডিয়া-ব্ৰিটানিকা)

ফিবনাচি সংখ্যা আৰু তৎসম্পৰ্কীয় ধৰণাৰ আদান-প্ৰদান তথা গৱেষণা ইত্যাদিক আগত ৰাখি ১৯৬২ চনত ‘ফিবনাচি এচোছিয়েছন’ নামৰ এটা সংগঠন খোলা হয়। ১৮৮৪ চনতে প্ৰকাশিত Adolf Zeising ৰ ‘Der golden schmitt’ নামৰ জাৰ্মান ভাষাত লিখা এখন কিতাপত Zeising এ কয় যে সকলো ধৰণৰ অনুপাতৰ ভিতৰত এই সুৱৰ্ণ অনুপাতেই আটাইতকৈ ভাল লগা বিধৰ আৰু মানৱ শৰীৰ বিদ্যাকে ধৰি সকলো ধৰণৰ আকৃতিবিজ্ঞান কলা, স্থাপত্য আনকি সংগীতৰো জ্ঞানৰ যেনিবা ই চাবি-কাঠি।

পাঠকে এটা কথা জানি থোৱা ভাল যে আমি আলোচনা কৰা সুৱৰ্ণ অনুপাতটো বহুতে গ্ৰীক আখৰ tau (tau) ৰে বুজায়। Phi সম্পৰ্কীয় খবৰা-খবৰৰ ভিতৰত দুটামান নতুন সংযোজন আছে। সেয়া হ’ল এই যে-

প্ৰথম চিত্ৰৰ কৰ্ণ দুডাল আৰু দ্বিতীয় চিত্ৰৰ মাধ্যিকী দুডাল সুৱৰ্ণ অনুপাতত থাকে (ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে এয়া ভাবি চাব পাৰে)। মাৰ্ক বাৰ্ নামৰ যিজন গিতজ্ঞই প্ৰায় ৭৫ বছৰ আগেয়ে সুৱৰ্ণ অনুপাতটো বুজাবলৈ Phi আখৰটো ব্যৱহাৰ কৰিছিল, তেওঁৰ পুতেক ষ্টিফেন বাৰে ১৯১৩ চনত Phi ৰ ধৰণা কিদৰে প্ৰসাৰিত কৰে সেই বিষয়ে তলত ব্যাখ্যা কৰা হৈছে।

ফিবনাচি শ্ৰেণীটো ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ... লোৱা হয় যদিও, ১, ১ ৰ ঠাইত যিকোনো দুটা সংখ্যা লৈ আগবাঢ়িলেও ইয়াৰ সহায়ত পোৱা অনুপাতৰ অনুক্ৰমটো Phi লৈ অভিসৰণ কৰে। এতিয়া দেখা গৈছে যে দুটাৰ ঠাইত যিকোনো তিনিটা সংখ্যা লৈ চতুৰ্থটো যদি প্ৰথম তিনিটাৰ যোগফল, পঞ্চমটো ইয়াৰ আগৰ তিনিটাৰ যোগফল, এনেদৰে আগবঢ়া যায় তেনেহ’লে ইয়াৰ সহায়ত পোৱা অনুপাতৰ অনুক্ৰমটো ১.৮৩৯৫+ লৈ অভসৰণ কৰে। যদি nটা সংখ্যাৰে অনুক্ৰমটো আৰম্ভ কৰা হয় তেনেহ’লে অনুৰূপ অনুক্ৰমটো xঅলৈ অভিসৰণ কৰিলে n=frac{log(2-x^{-1})}{log x} হ’ব। অন্য এটা মন কৰিবলগীয়া কথা হ’ল যে n যিমানে ডাঙৰ হৈ গৈ থাকিব x ক্ৰমে ২ লৈ বুলি আগবাঢ়িব। (অৰ্থাৎ যদি nrightarrowinfty তেন্তে xrightarrow 2 )। ওপৰৰ সাধাৰণ সূত্ৰ  n=frac{log(2-x^{-1})}{log x} ত  n=2 বহুৱালে আমি পাওঁ-

READ:   Shanti Swarup Bhatnagar: A Pensive Pioneer of Indian Science and Technology

2log =log(2-x)^{-1}

x^{2}=frac{1}{2-x}

(x-1)(x^{2}-x-1)=0

যিহেতু x=1 হ’ব নোৱাৰে,  x^{2}-x-1=0 হ’ব আৰু সেয়ে x=Phi । গতিকে n=2 ৰ বাবে সূত্ৰটো সত্য।

শেষত Phi সম্পৰ্কীয় কেইখনমান কিতাপ পাঠকৰ জ্ঞাতাৰ্থে জনাই প্ৰবন্ধটিৰ মোখনি মাৰাৰ আগেয়ে এই সুৱৰ্ণ অনুপাতকে লৈ হোৱা আলোচনা-বিলোচনা অলপ উল্লেখ কৰিব খুজিছো। Matila Ghyka নামৰ এজনে লিখা ‘The Geometry of Art and Life’ নামৰ কিতাপ এখনত উল্লেখ আছে যে বহু সংখ্যক মতা মানহ আৰু মাইকী মানুহৰ শৰীৰৰ জোখ ল’লে অনুপাতবোৰৰ গড় হয় ১.৬৮১। মি. জেইচিংৰ নাভি উচ্চতা (Naval height) সম্পৰ্কীয় তত্ত্বই আধুনিক যুগতো যথেষ্ট প্ৰাধান্য পাইছে। Mr. Lonc নামৰ এজনে Zeisingৰ তত্ত্বটো সত্যাপন কৰি সাব্যস্ত কৰে। তেওঁ ৬৫ গৰাকী মহিলাৰ উচ্চতা লৈ তেওঁলোকৰ নাভি উচ্চতাৰ অনুপাত লয় আৰু গড় অনুপাত ১.৬১৮+ পায়। ইয়াক তেওঁ লংক আপেক্ষিক ধ্ৰুৱক (Lon Relativity Constant) নাম দিয়ে। তেওঁৰ মতে যি জনাৰ অনুপাত এই বিশেষ সংখ্যাটোৰ ভিতৰত নপৰে তেওঁ হয়তো কোনো ধৰণৰ শাৰীৰিক দুৰ্ঘটনাত আঘাটপ্ৰাপ্ত হৈছিল। আনহাতে কেনিথ্ ৱাল্টাৰ নামৰ তেওঁৰ বন্ধু কেইজনমানৰ সহযোগত এটা অধ্যয়ন চলালে। তাত তেওঁলোকৰ স্ত্ৰীসকলৰ নাভি উচ্চতা জুখি গড় অনুপাতটো পালে ১.৬৬৭ যিটো ওপৰত উল্লেখ কৰা মি. লংকৰৰ অনুপাততকৈ অলপ বেছি (High)। ৱাল্টাৰ নিজৰ পৰীক্ষাত ইমানেই আস্থাবান যে মি. লেকৰ ফলাফলৰ লগত এই সন্দৰ্ভত তেখেতৰ অমিলৰ কাৰণ দৰ্শাই যিষাৰ কথা কৈছে তাক উল্লেখ কৰাৰ লোভ সামৰিব নোৱাৰিলো: “অনুগ্ৰহ কৰি মন কৰক যে, এই ‘হাই-ফাই’ (high-phi) ‘ঘৈণীসমূহ’ক জোখা হৈছিল তেওঁলোকৰ নিজা-নিজা সন্মানীয় স্বামীসকলৰ দ্বাৰা। সেয়েহে, এই উপদেশ দিব পাৰি যে, মিঃ লংকু-এ যেন ‘নেভেল আৰ্কিটেক-চাৰ’ এৰি বেলেগ অধ্যয়নত লাগে।”

মি. লংক-এ পিছে Phi ৰ মান শুদ্ধকৈ নিৰূপণ কৰিছিল। সাধাৰণতে বিশ্বাস কৰি লোৱা  pi ৰ মান ৩.১৪১৫৯... লংকে মানি লোৱা নাছিল। Phi ৰ বৰ্গক ৬ ৰে পূৰণ আৰু পিছত ৫ ৰে হৰণ কৰি pi ৰ মান আৰু বেছি শুদ্ধকৈ নিৰূপন কৰি ৩.১৪১৬৪০৭৮৬৪৪৬২০৫৫০ পাইছিল। অৱশ্যে বৰ্তমান বিজ্ঞানৰ চৰমতম অগ্ৰগতিৰ যুগত pi ৰ মান বহু শুদ্ধকৈ কেইবা হাজাৰো দশমিক স্থানলৈ উলিয়াব পৰা হৈছে। ফিবোনাচি সংখ্যাৰ ওপৰত আমাৰ ভাৰতবৰ্ষতো যথেষ্ট চিন্ত-চৰ্চা হৈ থকা খবৰটো এইখিনিতে পাঠকক দি প্ৰবন্ধটি সামৰা হ’ল।

[ড° খনীন চৌধুৰীৰ  "গণিত : এটি বিৰক্তিকৰ বিষয়" নামৰ গ্ৰন্থখনৰ এটি প্ৰবন্ধ।]

[ad#ad-2]

Print Friendly, PDF & Email
The following two tabs change content below.
Tags:
No Comments

Post A Comment