মৌলিক সংখ্যা আৰু ইয়াৰ গোপন বতৰা

সৰলতৰ সমস্যা কেতবোৰ গণিতত অতি আমোদজনকভাৱে আত্মগমনকাৰী। পাটীগণিতৰ সমস্যা কেতবোৰ খুব সম্ভৱ সকলোতকৈ সৰলতৰ আৰু তুলনামূলকভাৱে স্বাভাৱিক। পাটীগণিতৰ নাম ল’লেই ইয়াৰ লগত এৰাব নোৱাৰাকৈ জড়িত স্বাভাৱিক সংখ্যাসমূহ, যেনে, 1, 2, 3, 4,... এইবোৰ আহি পৰে আৰু ইয়াৰ লগে লগেই 2+3=5, 4+3=7, ইত্যাদিৰ ধাৰণাও আহি যায়। পিছে স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগ প্ৰক্ৰিয়াই সংখ্যাবোৰৰ ভিতৰত থকা বিশেষ ৰহস্য উদঘাটন নকৰে। গণিতজ্ঞৰ মন আকৰ্ষণ কৰিব পৰা বহুতো আমোদজনক তথা আত্মমগনকাৰী বৈশিষ্ট্য সোমাই আছে স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ পূৰণ প্ৰক্ৰিয়াৰ মাজতহে (অৱশ্যে পূৰণ প্ৰক্ৰিয়াটো যোগ প্ৰক্ৰিয়াৰেই এক সংক্ষিপ্ত ৰূপ। তথাপিও পূৰণ প্ৰক্ৰিয়াটোৰ নিজস্ব বৈশিষ্ট্যৰে ই অতি ‘ভাৱ গধুৰ’ কথা কয়।) উদাহৰণস্বৰূপে, তেনে এটা অতি সৰল আৰু স্বাভাৱিক সংখ্যা হ'ল মৌলিক সংখ্যা।

মৌলিক সংখ্যা হ’ল সেই বোৰ স্বাভাৱিক সংখ্যা, যিবোৰক দুই বা তাতোধিক সৰু স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ পূৰণফল হিচাবে প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি। মৌলিক সংখ্যাৰ সংজ্ঞা দিয়াৰ পাছত স্বাভাৱিকতেই মনলৈ অহা প্ৰশ্নকেইটা হ’ল— মৌলিক সংখ্যা কেইটা? অথবা এনে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা আছেনে যে ইয়াতকৈ ডাঙৰ যি কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যাক, এই মৌলিক সংখ্যাটি আৰু ইয়াতকৈ সৰু কোনো মৌলিক সংখ্যাৰ পূৰণ হিচাপে লিখিব পাৰি? ইউক্লিদেই পোনতে এই প্ৰশ্নটিৰ উত্তৰ দিয়ে— এটা অতি সুন্দৰ প্ৰমাণৰদ্বাৰা। ইয়াত তেওঁ দেখুৱায় যে “মৌলিক সংখ্যাৰ সংখ্যা (number) অসীমভাৱে বঢ়াই নিব পাৰি।” অৰ্থাৎ অন্য ভাষাত ‘বৃহত্তম মৌলিক’ বুলি কোনো সংখ্যা নাই। আমাৰ এই প্ৰবন্ধটিৰ আলোচনাৰ বাটত ইউক্লিদৰ প্ৰমাণটি পাম কাৰণে অলপ অপেক্ষাই কৰোঁ।

এতিয়াৰ পৰা আমি (এই প্ৰবন্ধটিত) মৌলিক সংখ্যাক অকল ‘মৌলিক’ বুলিয়েই ক’ম।

মৌলিকৰ সংখ্যা অসীম বুলি জনাৰ পিছত অন্য এটা স্বাভাৱিক প্ৰশ্ন উঠে যে— এটাও মৌলিক বাদ নোযোৱাকৈ তালিকাভুক্ত কৰিবপৰা এনে কোনো নিয়ম আছে নেকি? গ্ৰীক দাৰ্শনিক আৰু গণিতজ্ঞ ইৰাটস্থেনিচে এই ক্ষেত্ৰত এটা উপায় দিয়ে। তেওঁৰ এই পদ্ধতিক ‘চালনীৰে বাছনি’ (sieve) বুলিব পাৰি। এই পদ্ধতিত পোনতে 1, 2, 3, 4,... ইত্যাদি সংখ্যাবোৰ লিখি লোৱা হয়। তাৰ পিছত, প্ৰথমে 2ৰ গুণিতকবোৰ (multiple) কাটি যোৱা হওক (যেনিবা চালনীৰে সৰি পৰিল!)। ইয়াৰ পিছত 3ৰ গুণিতকবোৰ কটা হওক, তেনেদৰে 5 ইত্যাদি। তলৰ তালিকাখনত এশটা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰপৰা মুঠতে 25টা মৌলিক বাছনিত উঠিল—

primes

এনেদৰে 10^{10} লৈ সাজি উলিওৱা হৈছিল। নিঃসন্দেহে ই এটা কেঁচা পদ্ধতি! গণিতজ্ঞসকল কেইবা শতিকা ধৰি সকলোবোৰ মৌলিক সংখ্যা পাব পৰা এটা সূত্ৰ উদ্ভাৱনৰ চেষ্টাত আছিল, পিছে 1640 চনতহে প্ৰখ্যাত গণিতজ্ঞ ফাৰমাই এই বিষয়ত প্ৰথমটো সূত্ৰ দিবলৈ সক্ষম হয়। তেওঁৰ সূত্ৰটো আছিল—

p=2^{2^n}+1(n=1,2,3,dots)

এই সূত্ৰানুসৰি—

n=1 হ’লে যথাক্ৰমিক মৌলিকটো হ’ব 5

=2 হ’লে যথাক্ৰমিক মৌলিকটো হ’ব 17

=3 হ’লে যথাক্ৰমিক মৌলিকটো হ’ব 257 ইত্যাদি।

পিছে প্ৰায় এক শতিকা পিছত অন্য এজন প্ৰখ্যাত গণিতজ্ঞ অইলাৰে দেখুৱায় যে n=5 ৰ বাবে, ফাৰমাৰ সূত্ৰৰপৰা পোৱা সংখ্যাটো মৌলিক নহয়। এই সংখ্যাটো হ'ল— 4,294,967,297 ।

দেখা যায় যে 67,00,417X641=4,294,967,297 ।

গতিকে ওপৰত দিয়া ফাৰমাৰ সূত্ৰটো ভুল।

মৌলিক সংখ্যাৰ সূত্ৰৰ অনুসন্ধানৰ ফলশ্ৰুতি হ’ল আৰু দুটা অন্য সূত্ৰ। সেয়া হ'ল—

p=n^2-n+41 আৰু p=n^2-79n+1601

এই সূত্ৰ দুটাতো খেলিমেলি আছে। প্ৰথমটোত n ৰ মান 1 ৰ পৰা 40 লৈ ল’লে আমি মৌলিক সংখ্যা পাওঁ ঠিকেই, পিছে n=41 ৰ বাবে এই সূত্ৰৰ সহায়ত পোৱা 41^2-41+41=41times 41 মৌলিক নহয়। তেনেদৰে দ্বিতীয় সূত্ৰটিত n=1, 2, ..., 79 ৰ বাবে যথাক্ৰমিক সংখ্যাবোৰ মৌলিক, পিছে n=80 ৰ বাবে পোৱা সংখ্যাটো মৌলিক নহয়। এনেদৰে সকলোবোৰ মৌলিক সামৰিব পৰা সূত্ৰ এটা উলিওৱা সমস্যাটি আজিও (বোধকৰো) সমস্যা হৈয়েই আছে।

এই খিনিতে গোল্ডবাকৰ অনুমানটো (Gold Bach conjecture) মন কৰোঁ: যি কোনো যুগ্ম সংখ্যাক দুটা মৌলিকৰ যোগ হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। যেনেঃ 12=7+5, 24=17+7 ইত্যাদি। পিছে ই এটা অনুমানহে (conjecture)। গণিতজ্ঞসকলৰ বহু চেষ্টাৰ মূৰতো ইয়াৰ প্ৰমাণ সম্ভৱ হোৱা নাই। এই বিষয়ত প্ৰমাণৰ সপক্ষত ফলাফলসমূহ কেনে আকৰ্ষণীয়ভাৱে আগবাঢ়ি আহিছে— সেয়াও আমোদজনক। 1931ত ৰাছিয়াৰ গণিতজ্ঞ স্নিৰেলমেনে এনে এটা সমাধান দিয়ে যে ই গোল্ডবাকৰ অনুমানৰ সত্যতা প্ৰতিপন্ন কৰাৰ ফালে আগুৱাই নিয়ে। স্নিৰেলমেনে প্ৰমাণ কৰে যে প্ৰতিটো যুগ্ম সংখ্যা 3000,000টাতকৈ বেছি মৌলিকৰ যোগ হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি। গোল্ডবাকৰ অনুমান প্ৰমাণ কৰিবলৈ আগবাঢ়োতে স্নিৰেলমেনে কি প্ৰমাণ কৰিলে— পাঠকে মন কৰিছে নিশ্চয়। 3000,000ৰ পৰা কমাই আনি অন্য এজন ৰাছিয়ান গণিতজ্ঞ ভিনাগ্ৰেডফে প্ৰমাণ কৰে যে “প্ৰতিটো যুগ্ম সংখ্যা 4টাতকৈ অধিক মৌলিকৰ যোগ হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি।” ইয়াৰ পিছত আৰু কোনেও গোল্ডবাকৰ অনুমানৰ ‘শুদ্ধতাৰ হাৰ’ বঢ়াব পৰা নাই।

ওপৰত মন কৰা হৈছে যে এটা উপপাদ্যৰ ‘সত্যতা মান’ৰ হাৰ ক্ৰমাৎ বঢ়াই অনা হৈছে। (এয়া আমাৰ নিজৰ কথা নহয়, ই এক পৰ্যবেক্ষিত ঐতিহাসিক সত্য।) গতিকে কোনো উপপাদ্যৰ সত্যতা মানৰ হাৰ বঢ়াই গৈ শেষত উপপাদ্যটো সম্পূৰ্ণ প্ৰমাণ কৰা— এই কায়দাটো নিশ্চয় মন কৰিবলগীয়া। এইখিনিতে ‘ফাজি গণিত’ৰ কথাও মনলৈ আহে।

এনে বিষয়ৰ এটা পৰ্যৱেক্ষণ মন কৰা হওক। 1 আৰু 2 ৰ 2 টো মৌলিক। 1, 2, 3 ৰ 2, 3 মৌলিক। 1, 2, 3, 4, 5, 6 ৰ 2, 3, 5 মৌলিক। অৰ্থাৎ 1 ৰ পৰা 6 লৈ মৌলিক 3 টা। তেনেদৰে আগবাঢ়ি গৈ শতকৰ হিচাপত এনে মৌলিকৰ হিচাপ মন কৰিলে সাধাৰণতে মনলৈ অহা প্ৰশ্নকেইটা হ'ল— 1 ৰ পৰা স্বাভাৱিক সংখ্যা বঢ়াই নিলে মৌলিক সংখ্যাৰ শতকৰা হাৰ একেই থাকে নে বাঢ়ে বা কমে? অতি সাধাৰণ হিচাব-নিকাচৰ দ্বাৰা এই হাৰ তলত দিয়া ধৰণে পোৱা যায়—

1-N

মৌলিক

সংখ্যা

অনুপাত

frac{1}{log_eN}

শতকৰা

বিচ্যুতি

1-10^2

1-10^3

1-10^6

1-10^9

26

168

71,498

50,847,478

0.260

0.168

0.078498

0.050847478

0.217

0.145

0.072382

0.048254942

20

16

8

5

 

ওপৰৰ তালিকাখনে দেখুৱায় যে স্বাভাৱিক সংখ্যা ডাঙৰ হৈ গৈ থাকিলে “আপেক্ষিক মৌলিক” ক্ৰমাৎ কমি গৈ থাকে। অৱশ্যে সঠিকভাৱে কিমান ডাঙৰ হ'লে “মৌলিক শূণ্য” হ’ব, তেনে কোনো সীমা নাই। মৌলিকৰ এই ক্ৰমহ্ৰাসমান শতকৰা হাৰ উলিওৱাৰ কিবা সহজ উপায় আছে জানো? “মৌলিকৰ গড় বিস্তৃতি” (average distribution of primes) নিয়ন্ত্ৰণকাৰী নিয়মৰ আৱিষ্কাৰ হ’ল গণিতৰ অন্যতম উল্লেখযোগ্য আৱিষ্কাৰ। সেয়া হ'লঃ “1 ৰ পৰা কোনো ডাঙৰ N লৈ মৌলিকৰ উপস্থিতিৰ শতকৰা হিচাপটো মোটামুটিভাৱে N ৰ স্বাভাৱিক ঘাতাংকৰ প্ৰতিক্ৰম বুলি লোৱা হয় আৰু N ডাঙৰ হৈ গৈ থাকিলে এই আসন্নকৰণখিনিও ওচৰ চাপি গৈ থাকে।”

অন্য বহুতো উপপাদ্যৰ দৰে ওপৰৰ মৌলিক সংখ্যা সম্পৰ্কীয় উপপাদ্যটোৰ যৌক্তিক প্ৰমাণ বহুদিন ধৰি দিব পৰা হোৱা নাছিল। যোৱা শতিকাৰ শেষৰফালে ফৰাছী গণিতজ্ঞ হাডামাৰ্ড (Hadamard) আৰু বেলজিয়ামৰ ডি-লা-ডেলি পুছিনে (De-la-Dallee Poussin) ইয়াৰ প্ৰমাণ আগবঢ়ায়।

1947 ত, জৰ্জ গেম’এ (মৌলিক গণিতৰ) সংখ্যাতত্ত্ব সম্পৰ্কীয় আলোচনাত কৈছিলঃ “গণিতৰ এটা বৃহৎ অংশ এতিয়ালৈকে (তেতিয়ালৈ) কোনো উদ্দেশ্য সাধনাৰ বাবে যেনিবা সম্পূৰ্ণ অনুপযোগী হৈ ৰৈ গৈছে। মাথেন এক উদ্দীপক মানসিক ব্যায়ামৰ বাবেহে যেনিবা আছে আৰু এনেদৰে ‘শুদ্ধতাৰ মুকুট’টো লৈ আছে।” পিছে এনে এটা কামত নলগা বিষয়নো কিদৰে— “ক্ৰিপ্ট’গ্ৰাফীত এক বিশেষ বৈশিষ্ট্য বহন কৰিছে যে ইয়াৰেই কেতবোৰ ফলাফলক মিলিটাৰী গোপনীয়তাৰ অন্তৰ্গত কৈ চিনাক্ত কৰা হৈছে।”

এজন সংখ্যা-তত্ত্ববিদ ডন্ জেগিয়াৰে (Don Zagier) কোৱা এষাৰ মন ভৰাই তোলাঃ মৌলিক সংখ্যা সম্পৰ্কত দুটা বিশেষত্ব লক্ষ্যণীয়— “প্ৰথম কথাটো হৈছে যে, এইবোৰ হৈছে গণিতজ্ঞসকলে অধ্যয়ন কৰা আটাইতকৈ বেছি খেয়ালী বিষয়। এইবোৰ যেনিবা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ মাজত বনৰীয়া গছপুলিৰ দৰে গজি উঠিছে। সম-ভাৱনাৰ নিয়মটোৰ বাদে যেনিবা আন কোনো নিয়মেই ই মনা নাই। আৰু এয়া কোনেও ক’ব নোৱাৰে— ক’তেবা আনটোৱে গজালি মেলিব। দ্বিতীয় কথাটো আকৌ ইয়াৰ বিপৰীত। মৌলিক সংখ্যাসমূহে এক আচৰিতভাৱে খুন্দিয়াই যোৱা শৃংখলা প্ৰদৰ্শন কৰে আৰু এনে আচৰণ নিয়ন্ত্ৰণ কৰা নিয়মো আছে— প্ৰায় ঠিক মিলিটাৰী সূক্ষ্মতাৰ লেখীয়া।”

এতিয়ালৈকে কম্পিউটাৰৰ যোগে হিচাপ কৰি উলিওৱা আটাইতকৈ ডাঙৰ মৌলিক সংখ্যাটো হ’ল p=2^{216091}-1[সম্পাদকৰ টোকা:— এই প্ৰবন্ধটিৰ ৰচনাকাল ১৯৯০ চনৰ আগৰ এই সংখ্যাটো ১৯৮৫ চনত আৱিষ্কৃত ইয়াৰ পাছত সময়ে সময়ে ইয়াতকৈ ডাঙৰ মৌলিক সংখ্যা আৱিষ্কাৰ হৈ আহিছে আৰু বৰ্তমানলৈকে আৱিষ্কৃত আটাইতকৈ ডাঙৰ মৌলিক সংখ্যাটো আৱিষ্কাৰ হয় ২০১৩ চনৰ জানুৱাৰী মাহত; 17,425,170 টা অংক যুক্ত সেই সংখ্যাটো হ’ল p=2^{57,885,161}-1 ]  পিছে, আমি ওপৰত উল্লেখ কৰি আহিছোঁৱেই যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা নাই। কিয়নো, আমি জনা মৌলিক সংখ্যা 2, 3, 5, ... আদিৰপৰা p=2^{216091}-1 লৈ যদি পূৰণ কৰি 1 যোগ দিওঁ তেতিয়া N=2times 3times 5times dots times p+1 এই সংখ্যাটি পাওঁ। এতিয়া N সংখ্যাটি 2, 3, ..., p এইকেইটা মৌলিক সংখ্যাৰ কোনো এটাৰেও বিভাজ্য নহয়। গতিকে N সংখ্যাটি নিজেই মৌলিক অথবা 2, 3, ..., p কৈ কোনো ডাঙৰ মৌলিকেৰে বিভাজ্য। গতিকে p তকৈ ডাঙৰ মৌলিক নিশ্চয়েই আছে। পিছে N সংখ্যাটিৰ মৌলিক উৎপাদক উলিওৱাৰ কাৰ্যকৰী উপায় কি?

READ:   Turing’s Mathematical Theory of Morphogenesis

“মৌলিক সংখ্যা-তত্ত্ব”ৰ কাৰ্যক্ষেত্ৰৰ প্ৰধান সমস্যা দুটাৰ প্ৰথমটো হ’ল: কোনো এক নিৰ্দিষ্ট সংখ্যা মৌলিক হয় নে নহয় তাক পৰীক্ষা কৰিব পৰা এটা গ্ৰহণযোগ্য পদ্ধতি উলিওৱা। দ্বিতীয়টো হ’ল: কোনো সংখ্যাৰ মৌলিক উৎপাদক ভঙাৰ এটা উপযুক্ত পদ্ধতি উলিওৱা।

তলৰ সংখ্যাবোৰৰ ক্ষেত্ৰত সাধাৰণতে উৎপাদক ভাঙো এনেদৰেইঃ

factors

ইত্যাদি।

আচলতে, দ্বিতীয় সমস্যাটো সমাধান হ’লে প্ৰথমটি নিজে নিজেই সমাধা হ’ব। আমি বিচাৰিছোঁ, ওপৰৰ কামখিনি নকৰাকৈ— মানে স্পষ্টভাৱে উৎপাদকবোৰ নেদেখুৱাকৈ কিদৰে এটা সংখ্যা মৌলিক নহয় বুলি দেখুৱাম?

এইখিনিতে আমি এটা হিচাপ কৰি চাওঁ। ওপৰত আমি বাছনি-হৰণ পদ্ধতিৰে (trial division) সংখ্যাৰ উৎপাদক উলিয়াইছোঁ। এতিয়া এটা কম্পিউটাৰ কল্পনা কৰা হ’ল, যিয়ে এনে প্ৰক্ৰিয়া প্ৰতি ছেকেণ্ডত এক নিযুত (one million) বাৰ কৰিব পাৰে। তেনেক্ষেত্ৰত 30 টা অংকৰ সংখ্যাৰ এটা উৎপাদক ভাঙিবলৈ ইয়াক এটা দিন লাগিব। 40 টা অংকৰ সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত 1025 বছৰ (এয়া হ’ল বিশ্বব্ৰহ্মাণ্ডখনৰ বয়স সম্পৰ্কে কৰা একেবাৰে নতুন ভৱিষ্যৎ বাণীটো!)। উন্নতৰ সংক্ষিপ্ত উপায়ৰ আটাইতকৈ বেগী পদ্ধতিটোত 75 টা অংকৰ সংখ্যা এটাত লাগিব প্ৰায় এমাহ। 100 টা অংকৰ সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত— এটা শতিকা! পিছে বিজ্ঞান আজি উন্নতিৰ উচ্চতম শিখৰত আৰোহণ কৰিছে। সেয়ে এই ক্ষেত্ৰত একেবাৰে শেষৰ খবৰটো হ'ল— উচ্চতম মানৰ কম্পিউটাৰে 100 টা অংকৰ সংখ্যা এটা মৌলিক বুলি প্ৰমাণ কৰিছে প্ৰায় 45 ছেকেণ্ডত। 200 টা অংকৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰয়োজন হয় 6 মিনিট। 1000 টা অংকৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰায় এক সপ্তাহ, আনহাতে 2000 টা অংকৰ সংখ্যা এটা মৌলিক উৎপাদকত প্ৰকাশ অসম্ভৱ!

মৌলিক সংখ্যা সম্পৰ্কীয় অন্য কেইটামান বিশেষ কথা আলোচনা কৰিবলৈ যোৱাৰ আগতে আমাৰ আলোচনাৰ বাবে প্ৰয়োজনীয় এক বিশেষ ধৰণৰ পাটীগণিতত অলপ মন দিয়াৰ ইচ্ছা কৰিছোঁ, সেয়া হ’ল ঘড়ীৰ পাটীগণিত (clock-arithmetic)।

আমি জানোঁ যে আমাৰ সাধাৰণ ঘড়ীবোৰত 1 বজাৰ পৰা আগবাঢ়ি 12 বজালৈ সূচাব পৰাহে চিন দিয়া থাকে (যদিওবা 24 ঘন্টাতহে এটা দিন)। এইটো কথা অৱশ্যে পাঠকে জানে যে সকলোৰে সুবিধা বুলি ভাবি ৰাতি 12 বজাৰ পিছত নতুন দিনটো আৰম্ভ হোৱা ধৰে। (পঞ্জিকাৰ (ভাৰতীয়) হিচাপ-নিকাচৰ বাদে) সেয়ে আচলতে দুপৰীয়া 1 বাজিলে 13 টা, 2 বাজিলে 14 টা এনেদৰে আহি ৰাতি 12 বাজিলে 24 টা বজা (অৰ্থাৎ এটা দিন সম্পূৰ্ণ হোৱা) বুলি ক'ব পাৰোঁ। গতিকে এই ব্যৱস্থাটোক তলত দিয়া ধৰণে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি।

6+6=0, 6+7=13=1, 8+9=17=5, 12+12=24=0 ইত্যাদি।

ইয়াত 12 আৰু 0 সমাৰ্থক (শেষ বিন্দু আৰু আৰম্ভণ বিন্দু।) সেয়ে ওপৰৰ সমান (=) চিনবোৰ যেন ঠিক অৰ্থবহ হোৱা নাই। সেয়ে 12 সংখ্যাটিৰ ওপৰত গুৰুত্ব দি ওপৰৰ কথাখিনিকে এনেদৰে প্ৰকাশ কৰিলোঁ:

6+60(12), 6+71(12), 8+95(12), 12+120(12) ইত্যাদি।

এনে ধৰণৰ ‘প্ৰকাশ’ক (expression) পঢ়া হয় এনেদৰেঃ

six plus six (i.e. 12) is congruent to zero modulo 12; 13 is congruent to 1 modulo 12 ইত্যাদি।

একেদৰে 12 ৰ ঠাইত যিকোনো সংখ্যা nকেই ‘modulus’ হিচাপে ল’ব পৰা যায়। তেতিয়া, ফলস্বৰূপে পোৱা সংখ্যা পদ্ধতিটো হ’ব 0, 1, ..., n-1 আৰু একেদৰে ইয়াৰ নিজা অৰ্থত পূৰণ, বিযোগ আৰু যোগ আছে। যদি n এটা মৌলিক সংখ্যা হয়, তেনেহ’লে ওপৰৰ ধৰণৰ সংখ্যা পদ্ধতিটোৰ কোনো সংখ্যাক শূণ্যত (0) বাদে যি কোনো সংখ্যাৰে হৰণ কৰিব পৰা হয়। যেনেঃ n=5 ল’লে frac{2}{3}equiv 4 ইত্যাদি।

এই আচহুৱা ধৰণৰ পাটীগণিতখিনি গাউছৰ অৱদান। ইয়াৰে বিভাজ্যতা সম্পৰ্কীয় সমস্যাসমূহ ভাঙিবলৈ সুবিধা। সংখ্যা-তত্ত্বত ইয়াৰ ব্যৱহাৰ প্ৰচুৰ।

ফৰাছী আইনজীৱী আৰু নেশাদাৰ সংখ্যাতত্ত্ববিদ পিয়াৰে দি ফাৰ্মাই (Pierre-de-Fermat) আগবঢ়োৱা দুটা উপপাদ্য সংখ্যাতত্ত্বত অতি গুৰুত্বপূৰ্ণ। ইয়াৰে এটা হ'ল (Fermat's last theorem) ‘ফাৰমাৰ অন্তিম উপপাদ্য’ আৰু (Fermat's little theorem) ‘ফাৰমাৰ অকণমানি উপপাদ্য’। ফাৰমাৰ অকণমানি উপপাদ্যটোৱে কোনো এটা ডাঙৰ সংখ্যা মৌলিক হয় নে নহয় ইয়াক পৰীক্ষা কৰাৰ সুযোগ দিয়ে। এই উপপাদ্য অনুসৰি, p যদি কোনো মৌলিক সংখ্যা হয়, তেন্তে p ৰ দ্বাৰা অবিভাজ্য a কোনো এটা সংখ্যা হ’লে a^{p-1}equiv 1(mod p) । অৰ্থাৎ p ৰে a^{p-1} ক ভাগ কৰিলে 1 বাকী ৰয়। যেনেঃ

2^{10}equiv 1024equiv 1(mod 11) কাৰণ 1023=93times 11times 1 ইত্যাদি। তেনেদৰে, যিহেতু 2^{11}=2048=170times 12+8, গতিকে 2^{11}equiv 8(mod 12) । সেয়ে 12 এটা মৌলিক নহয়। পিছে কথা হ'ল এই যে, 12 সংখ্যাটি মৌলিক হয় নে নহয় তাক চাবলৈ ওপৰৰ উপপাদ্যটিৰ কোনো প্ৰয়োজন নাই। ডাঙৰ মৌলিকৰ বাবেহে ই এক ‘বিমূৰ্ত আমোদ’ দিয়ে। ইয়াৰ উপৰিও এই উপপাদ্যটিৰ প্ৰয়োগিক দিশটোনো কেনে— বুজিবলৈ চেষ্টা কৰিম।

1970 চনৰ শেষৰফালে ৰালফ্ মাৰ্কলি (Ralph Markle), হোৱাইট ফিল্ড দিফি (White field Diffie) আৰু মাটিন হেলমান্ (Martin Hellman) নামৰ তিনিজনে “a public key crypto system” নামৰ এটা নতুন ধৰণৰ “ক’ড” (code) আগবঢ়ায়। পাঠকে জানেই ক’ডৰ প্ৰয়োজন কিয় আৰু ক’ত? এতিয়া ‘কেনেকৈ’ সম্পৰ্কে আলোচনা কৰোঁতে দেখা পাম যে আধুনিক যুগত ক’ডৰ লগত মৌলিক সংখ্যাৰ সম্পৰ্ক ক’ত?

ক’ডৰ ব্যৱহাৰত সাধাৰণতে দুটা খাপ থাকে। প্ৰথম খাপত, কোনো বাতৰি ক’ডত প্ৰকাশ কৰা হয়। দ্বিতীয় খাপত, ক’ডৰ পৰা পোনে পোনে বাতৰি লৈ অনা হয়। প্ৰায়বোৰ সাধাৰণ ক’ডত, যিজনে প্ৰথম প্ৰক্ৰিয়াটো জানে তেওঁ দ্বিতীয় খাপৰ প্ৰক্ৰিয়াটোও জানে। সেয়ে বিপক্ষক প্ৰথম খাপৰ কায়দাটো কেতিয়াও জনোৱা নহয়। কাৰণ, তেতিয়াহ’লে বিপক্ষই, ক’ডত প্ৰকাশ পোৱা কথাখিনি সাধাৰণ ভাষালৈ ফিৰাই আনিব লাগিব। গতিকে প্ৰথম খাপৰ কায়াদাটোতেই সাধাৰণতে গোপণীয়তা ৰক্ষা কৰি চলিব লাগে। পিছে ভাষাৰপৰা ক’ডলৈ নিয়া পদ্ধতিটো যদি এটা ৰাসায়নিক যৌগৰ (chemical compound) দৰে হয় অৰ্থাৎ পুনৰ ফিৰাই আনিবলৈ টান হয়, তেনে ক্ষেত্ৰত ক’ডলৈ নিয়া কায়াদাটো গোপন কৰি নাৰাখিলেও একো হানি নহয়। এনে ধৰণৰ চিন্তাকেই ভেঁটি কৰি ওপৰৰ তিনিজনে ট্ৰেপডোৰ ফলনৰ ধাৰণা আনে। ধৰা হ’ল, কোনো এটা বাতৰি M ক ক’ডত প্ৰকাশ কৰোতে f(M) ৰূপে ল’লে। এতিয়া f(M)ৰ পৰা M পাবলৈ হ’লে আমি এটা বিপৰীত ফলন f^{-1} পাব লাগিব য’ত f^{-1}f(M)=M হ’ব। f ফলনটো সহজে হিচাপ কৰিব পৰা আৰু f^{-1} টো কঠিন হ'লে f ক এটা ট্ৰেপডোৰ ফলন বোলা হয়। f^{-1} কঠিন হোৱা বাবে বিপক্ষ বা নিজৰ পক্ষই অৱশ্যে একেই টান পায়। মাথোন নিজৰ পক্ষক গোপনীয়তাখিনি জনাৰ সুবিধা কৰি দিয়া হয়— কেৱল এটা গোপন ইংগিতেৰে। আৰু বিপক্ষই যাতে এই ইংগিতটো নাপায় তাৰ বাবে সতৰ্ক হৈ থাকিব লাগে। ৰাইডেষ্ট, স্বামী আৰু এডলমেন নামৰ তিনিজনে বনোৱা R-S-A পদ্ধতিত ফাৰমাৰ অকণমানি উপপাদ্যৰ পৰা এনে ফলন গঠন কৰা গৈছে। এই বিষয়ে তলত আভাস দিবলৈ চেষ্টা কৰা হৈছে।

দুটা ডাঙৰ মৌলিক সংখ্যা p আৰু q লোৱা হওক। সংখ্যা দুটা গোপন কৰি ৰাখিব লাগিব। (চাওকচোন অংকৰ খেলা গৈ বাস্তৱৰ গোপন বতৰা দিব পৰা ব্যৱস্থালৈ পৰিৱৰ্তিত হৈছে কিদৰে!) অৱশ্যে n(=pq) সকলোৱে জনাকৈ থকাত আপত্তি নাই। E অন্য এটা সংখ্যা (আচলতে E হ’ল ক’ডলৈ নিয়া কাঠি)। কোনো এটা বাতৰিক কিছুমান অংকৰ অনুক্ৰমৰদ্বাৰা বুজোৱা হয় আৰু ইয়াক কিছুমান সৰু সৰু খণ্ডত ভগোৱা হয় (সংখ্যা হিচাবে ভাবি) যাতে প্ৰতিটোৱে n তকৈ সৰু হয়। ইয়াৰ পিছত প্ৰতিটো টুকুৰা ক’ডত প্ৰকাশ কৰা হয়। যদি B কোনো এটা টুকুৰা হয়, তেনেহ’লে আমি C সংখ্যাটো উলিয়াব লাগিব যাতে Cequiv B^E(mod n) হয়। এই C য়েই হ’ল B টুকুৰাটোৰ ক’ডত প্ৰকাশ। C ৰ পৰা পুনৰ ভাষাটো পাবলৈ হ’লে (ওপৰত উল্লেখ কৰা f^{-1}) চাবি-কাঠি D জানিব লাগিব। এই Dক এনেদৰে লোৱা হয় যে Dtimes Eequiv 1(mod (p-1)(q-1)) হয়। ফাৰমাৰ উপপাদ্যৰপৰা লিঅ’নাৰ্ড অইলাৰে দিয়া সৰলীকৃত উপপাদ্য এটা পোৱা যায় C^Dequiv B(mod n) । ইয়াৰপৰা একেদৰেই Cক Bলৈ ৰূপান্তৰিত কৰা হয়। যদি কোনো সাধাৰণ মানুহে n আৰু E জানেও তেওঁ পিছে p আৰু q নাজানে (এইখিনিতে মন কৰিবলগীয়া যে p আৰু q যথেষ্ট ডাঙৰ!) সেয়ে তেওঁ (p-1)(q-1) পাব নোৱাৰে। গতিকে তেওঁ D উলিয়াব নোৱাৰে। আনহাতে ক’ডটো বনাওঁতাজনে p আৰু q জানে। কাৰণ তেওঁ p আৰু q ৰ পৰাই আৰম্ভ কৰে। গতিকে যিয়ে ক’ডত বাতৰিটো পাব, তেওঁক ক’ড বনাওঁতাজনে এই গোপন কথাখিনি জনাব লাগিব। এই পদ্ধতিটোৰ নিৰাপত্তা সম্পৰ্কীয় মন কৰিবলগীয়া কথাখিনি হ’লঃ “The notorious difficulty of factorising a given number into primes.”

এই ক’ডটোৰ এটা অন্য বৈশিষ্ট আছে। ধৰা হ’ল এটা বাতৰি পালে (ক’ডত) Prakasএ। বাতৰিটোৰ তলত লিখা আছে “Love Ray”। এতিয়া Prakasএ কেনেকৈ নিশ্চিত হ’ব যে বাতৰিটো সঁচাকৈয়ে Rayৰ দ্বাৰা প্ৰেৰিত! কাৰণ, যিহেতু ভাষাৰপৰা ক’ডলৈ অনা কায়াদাটোত কোনো গোপনীয়তা নাই, গতিকে বেলেগ কোনোবাইয়ো বাতৰিটো দি তলত “Love Ray” লিখিব পাৰে। পিছে Rayএ যে গোপন চাবি D জানে সেইটো কথা নিশ্চিত কৰি তেওঁ বাতৰিটো পঠিয়াব পাৰে— তলত (Love Ray) লিখি। কাৰণ তেতিয়া Prakasএ Eৰ জৰিয়তে কোডত প্ৰকাশ কৰি তেতিয়া পাব (Love Ray)^{DE} যিটো নেকি সাধাৰণ ভাষাত “Love Ray”। Dৰ বিষয়ে নজনা কোনো এজনেও এনে ধৰণৰ বাতৰি দিব নোৱাৰে। অলপ চেষ্টাৰ দ্বাৰা এই চহীটো বাতৰিটোৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল কৰি ল’ব পৰা যায়— যাতে ইয়াক আগতে পোৱা খা-খবৰৰপৰা ঠিক নকল কৰিব নোৱাৰে। অৱশ্যে যদি শত্ৰুপক্ষই D সম্পৰ্কে জানিছে তেনেহ’লে সকলো ধৰণৰ নিৰাপত্তাই হেৰাই গৈছে। পিছে ক’ডৰপৰা ভাষালৈ অনা কায়দাটো বেআইনীভাৱে হস্তগত কৰিলে কোনো ধৰণৰ ক’ডেই নিৰাপদ নহয়। I. Stewartএ উপৰ্যুক্ত R-S-A ক’ড সম্পৰ্কে উল্লেখ কৰোঁতে কৰা হেনৰিক ডব্লিউ লেনষ্ট্ৰা (জুনিয়ৰ) (Hendick W. Lenstra, Jr)ৰ উদ্ধৃতি এটা আমিও মনত পেলাই থওঁ—

READ:   The Pythagoras' Theorem

“ধৰা হ’ল চাফাইৰ লেডীগৰাকীয়ে ভুলক্ৰমে p আৰু q ক জাৱৰ সংগ্ৰাহকজনক দি দিলে। অৱশ্যে pq ক সংগ্ৰহ কৰি থোৱা আছে। এতিয়া p আৰু q ক কেনেকৈ পুনৰ ফিৰাই পোৱা হ’ব? এয়া গণিতৰ বাবে এক হাৰি যোৱা ঘটনা যেন হ’ব যদি জাৱৰৰ দমটোত স্মৃতি-আন্দাজ কৌশলেৰে বিচাৰ-খোচাৰ কৰা হয়।”

ফাৰমা আৰু তেওঁৰ কাম সম্পৰ্কে এইখিনিতে অলপ কৈ থোৱা হওক। ফাৰমা আছিল এজন নেশাদাৰ (amateur) গণিতজ্ঞ। দেউতাক আছিল এজন ব্যৱসায়ী আৰু ফাৰমা নিজে পেশাত আছিল উকীল। ফাৰমাই প্ৰায় অকলেই (আজিৰ) সংখ্যাতত্ত্বক গঢ় দিছিল। ফাৰমাই অকল সংখ্যাতত্ত্বতেই মনোনিৱেশ কৰা নাছিল। সংখ্যাতত্ত্বৰ উপৰিও তেওঁ কলন গণিত আৰু সম্ভাৱিতা তত্ত্বৰো মৌলিক কথা কেতবোৰ ধাৰণা কৰিছিল। সংখ্যাতত্ত্বত ফাৰমাৰ অন্য এক বিশেষ অৱদান হ’লঃ 4n+1 ঠাঁচৰ মৌলিক সংখ্যা এটা, দুটা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ যোগফল হিচাবে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। যেনে 17=4^2+1^2,137=11^2+4^2 ইত্যাদি। ফাৰমাই নিজৰ ফলাফলসমূহ আন্দাজ (guess) কৰি উলিওৱা নাছিল। কাৰণ তেওঁ অন্য গণিতজ্ঞলৈ দিয়া চিঠিসমূহত সময়ে সময়ে প্ৰমাণবোৰ বিশদভাৱে লিখিছিল। ওপৰৰ উপপাদ্যটি প্ৰমাণ কৰা কায়দাটো (technique) মন কৰিবলগীয়া। সেয়ে উল্লেখকৰা হ’ল। এই কায়দাটো নিজৰ উদ্ভাৱন। ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে এনেবোৰ কায়াদাত বা পদ্ধতিত মন দিলে লাভৱান হ’ব। এই পদ্ধতিটোৰ নাম ‘Infinite descent’ । ইয়াৰ মূল কথাখিনি এনে ধৰণৰঃ যদি ওপৰৰ ফলটো 4n+1 ঠাঁচৰ কোনো মৌলিকৰ বাবে শুদ্ধ নহয় তেনেহ’লে সেই ঠাঁচৰ, তাতকৈ সৰু অন্য মৌলিকৰ বাবেও অশুদ্ধ। পিছে 5=4.1+1 আৰু 5=2^2+1^2 গতিকে এটা বিৰোধৰ সন্মুখীন হওঁ। সেয়ে কথাখিনি সত্য। আজিৰ যুগৰ গণিতত ই গাণিতিক আবেশত (mathematical induction) বাদে একো নহয় সঁচা, পিছে ফাৰমাৰ সময়ত ই আছিল মৌলিকতা বহন কৰা এক বিশেষ পদ্ধতি।

ফাৰমাৰ কৃতিখিনি বুজাবলৈ (বিশেষকৈ ডাইফণ্টেইন সমীকৰণ সম্পৰ্কীয়) এই সম্পৰ্কীয় ইতিহাসলৈ অলপ ঘূৰি চাওঁ।

মহান আলেকজেণ্ডাৰে 332 খ্ৰী.পূ.ত আলেকজেন্দ্ৰিয়া নগৰ স্থাপন কৰে ইজিপ্তত। পিছে নগৰখন সম্পূৰ্ণ হোৱাৰ আগেয়ে, প্ৰায় নবছৰ পিছত আলেকজেণ্ডাৰৰ মৃত্যু হ’ল আৰু ৰাজনৈতিক অস্থিৰতাই দেখা দিলে। ফলস্বৰূপে আলেকজেণ্ডাৰৰ সাম্ৰাজ্য তিনিখণ্ডত ভাগ হৈ গ’ল। তাৰে এটা অংশ— ইজিপ্ত আহিল টলেমিৰ (Ptolmy) বংশৰ অধীনত। মন কৰিবলগীয়া বিশেষ কথা হ’ল— গাণিতৰ বিখ্যাত ধ্ৰুপদী কৰ্মৰাজিৰ বাবে গৌৰৱ কৰিব পৰা গ্ৰীক যুগটোৰ পিছত বিশেষ গাণিতিক তৎপৰতা পৰিলক্ষিত হয় টলেমিৰ সাম্ৰাজ্যৰ ভিতৰত। কথিত আছে, ৰোমানসকলে আৰম্ভ কৰা আৰু 640 খ্ৰী.ত মুছলমানসকলে সম্পূৰ্ণ কৰা আলেকজেন্দ্ৰিয়াৰ পুথিভঁৰালটো ধ্বংস হোৱালৈকে বিজ্ঞান আৰু গণিতে যথেষ্ট প্ৰসাৰ লভে। চাকি নুমাই যোৱাৰ আগে আগে উজ্জ্বল পোহৰ দিয়াৰ দৰে, আলেকজেন্দ্ৰিয়া ধ্বংস হোৱাৰ প্ৰায় এটা শতিকা আগতে এইখন নগৰীৰপৰা গ্ৰীক বীজগণিতে উচ্চতম শিখৰ পায়,— সেয়া হ’ল ডায়’ফেণ্টাছৰ (Diophantus) কৰ্মৰাজি। এইজন গণিতজ্ঞ যে এজন গ্ৰীক গণিতজ্ঞ আছিল ইয়াত বাদে ব্যক্তিগত বিশেষ একো জনা নাযায়। ডায়’ফেণ্টাছে লিখা কেইবাখনো কিতাপৰ ভিতৰত Arithmetrica নামৰ কিতাপখন বিশেষ। ডায়’ফেণ্টাছৰ স্থানো তেনে পৰ্যায়ৰ বুলিয়েই বুলি ক’ব পাৰি। ডায়’ফেণ্টাছে সাধাৰণতে পৰিমেয় সংখ্যা, বিশেষকৈ অখণ্ড সংখ্যাৰ সমীকৰণ সমাধানতহে ব্যস্ত আছিল। আৰু সেয়ে আজিও ডায়’ফেণ্টাইন সমীকৰণ (Diophantine) বুলিলে আমি অখণ্ড সংখ্যাৰ সমাধান পোৱা সমীকৰণহে বুজোঁ।

সোতৰ শতিকাৰ বিখ্যাত সংখ্যাতত্ত্ববিদ ফাৰমাৰ কৃতিখিনি সম্পৰ্কে জানিব পাৰি, কেৱল তেওঁ অইন গণিতজ্ঞলৈ লিখা চিঠিবোৰৰ পৰাহে। এনে ধৰণৰ ‘অসাৱধানী’ সংৰক্ষণবোৰৰ এটা বিখ্যাত টোকা হ’ল “এটা ঘনক দুটা ঘনৰ যোগ হিচাপে, এটা চতুৰ্থ ঘাতক দুটা চতুৰ্থ ঘাতৰ যোগ হিচাবে বা সাধাৰণ অৰ্থত যিকোনো ঘাতক দুটা একে ঘাতৰ যোগ হিচাবে প্ৰকাশ কৰাটো সম্ভৱ নহয়— যাৰ মন কৰিবলগীয়া প্ৰমাণ এটা পাইছোঁ, পিছে এই ‘মাৰ্জিন’খিনি ইয়াৰ বাবে যথেষ্ট নহয়।”

এই সম্পৰ্কত ফাৰমাই কিবা প্ৰমাণ দিছিল যদিও, কোনেও এই বিষয়ে একো নাজানিছিল। ফাৰমাৰ এই উপপাদ্যটিৰ বাবে প্ৰয়োজন হোৱা কায়দাবোৰৰ (technique) একোটিয়েই, সোতৰ শতিকাত জ্ঞাত নাছিল। কোনো বিশেষ উদ্দেশ্যে (কোনো বিশেষ ফল প্ৰাপ্তিৰ আশাত) আগবাঢ়োতে হোৱা অকৃতকাৰ্যতাইও যে বিষয়বস্তুক অপৰিসীমভাৱে পুষ্ট কৰে— ফাৰমাৰ এই উপপাদ্যটি এটা সুন্দৰ উদাহৰণ।

ডায়’ফেণ্টাছৰদ্বাৰা আলোচিত ‘পাইথাগোৰীয় ত্ৰয়ী’ৰ (Pythagarean triple) সমস্যা: সমকোণী ত্ৰিভুজৰ বাহু গঠন কৰা সংখ্যা তিনিটা কি কি? অৰ্থাৎ a, b আৰু c ৰ কি মানৰ বাবে a^2+b^2=c^2 ? আধুনিক যুগত এই সমস্যাটিৰ সাধাৰণ সমাধান হ'ল,

a=k(u^2-v^2),b=2kuv,c=k(u^2+v^2), ইয়াত k, u, v যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা। গতিকে দেখা যায় যে এই ক্ষেত্ৰত অসীম সংখ্যক সমাধান পোৱা যাব। ডায়’ফেণ্টাছৰ এই সমস্যাটিয়ে (marginal notes ৰ পৰা জনা যায়) ফাৰমাক a^n+b^n=c^n,(nge 3) এই সমস্যাটিলৈ লৈ যায়। Marginal notesতে ওপৰৰ সমীকৰণটিৰ ‘অখণ্ড সংখ্যাৰ সমাধান’ সম্ভৱ নহয় বুলি (প্ৰমাণ সহিত) থিৰ কৰে। এই সম্পৰ্কত ভিন ভিন (বিশেষ) গণিতজ্ঞৰ কাম এনে ধৰণৰ: n=3ৰ বাবে অইলাৰে প্ৰমাণ আগবঢ়ায়; n=4ৰ বাবে ফাৰামাৰ মোটামুটি এটা প্ৰমাণ আছে। 1828 চনত পিটাৰ লেজুইন ডিৰিক্লিটে n=5ৰ বাবে প্ৰমাণ কৰে। 1830ত আন্দ্ৰেই মেৰি লেজেণ্ডাৰে। ডিৰিক্লিটে n=14ৰ বাবেও প্ৰমাণ দিয়ে 1832 চনত। এইখিনিতে এটা আমোদৰ কথা মন কৰা হৈছে যে n=7তকৈ (এই মৌলিকটোতকৈ) n=14ৰ বাবে প্ৰমাণ কৰা সহজ। 1839 চনত গেব্ৰিয়েল লেমে (Gabriel Lame) n=7ৰ বাবে প্ৰমাণ আগবঢ়ায় যদিও ই শুদ্ধ প্ৰমাণিত নহ’ল। গণিতজ্ঞই গণিতজ্ঞ সম্পৰ্কে বা গণিত সম্পৰ্কে কৰা ৰসাল মন্তব্যবোৰ সৰ্বসাধাৰণৰ বা ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ অগোচৰতেই ৰৈ যায়। তেনে এটি ৰসাল মন্তব্য উল্লেখ কৰাৰ লোভ সামৰিব নোৱাৰিলোঁ। গণিতজ্ঞজন হ’ল ‘মহান গাউছ’ (যুৱৰাজ গাউছ?)। n=7ৰ বাবে গাউছে চেষ্টা কৰিলে— অকৃতকাৰ্য হ'ল(!)। গতিকে হেইনৰিখ্ অ’লবাচলৈ লিখিলে তলৰ কথাখিনি: “সমস্যাটো মোৰ বাবে কম গুৰুত্বপূৰ্ণ কিয়নো, এনে অলেখ উপপাদ্য বা উক্তি আছে— যিবোৰক প্ৰমাণ কৰিব নোৱাৰি বা নাকচ কৰিবও নোৱাৰি— অতি সহজেই সূত্ৰাবদ্ধ কৰিব পাৰি।” এই সম্পৰ্কত অন্য এজন (বৰ্তমান যুগৰ) গণিতজ্ঞ I. Stewartৰ মন্তব্য এনে ধৰণৰ: “আনকি মহানতম গণিতজ্ঞসকলেও সাময়িকভাৱে ‘আঙুৰ-টেঙা’ৰদ্বাৰা আক্ৰান্ত হয়।”

ফাৰমাৰ এই উপপাদ্যক ভেটি কৰি আগবঢ়া সংখ্যাতত্ত্বৰ কথা অলপ খৰচি মাৰি বুজিবলৈ দৰকাৰ হোৱা প্ৰাৰম্ভিক আলোচনা অলপ কৰি লোৱা হওক। প্ৰথমতে আহোঁ বীজীয় সংখ্যালৈ (algebraic number)। যি সংখ্যাই পৰিমেয় সংখ্যা সহগ হিচাবে থকা বহুপদী সমীকৰণ এটা সিদ্ধ কৰে সেই সংখ্যাকেই বীজীয় সংখ্যা বোলে। যেনে, sqrt{2} এটা বীজীয় সংখ্যা, কাৰণ x^2-2=0 সমীকৰণটো sqrt{2} য়ে সিদ্ধ কৰে। গতিকে সংখ্যাটো বীজীয় হয়। উল্লেখযোগ্য যে বীজীয় সংখ্যাবোৰো সাধাৰণ সংখ্যাবোৰৰ দৰে অখণ্ড সংখ্যা, মৌলিক সংখ্যা ইত্যাদিৰ দৰে ধাৰণা আছে। উদাহৰণস্বৰূপে, গাউছীয় অখণ্ড সংখ্যা বা গছিয়ান সংখ্যাবোৰ (Gaussian integer), অৰ্থাৎ a+bsqrt{-1} (a আৰু b অখণ্ড সংখ্যা) ঠাঁচৰ সংখ্যাবোৰ। এনে ঠাঁচৰ সংখ্যাবোৰ সদায়েই মৌলিক সংখ্যা কেতবোৰৰ একক প্ৰকাশ। ইয়াত মৌলিক সংজ্ঞা এনেদৰে দিয়া হয়:

p=ab হ’লে, যদি a বা bৰ কোনো এটাৰ প্ৰতিক্ৰম থাকে, তেনেহ’লে p এটা মৌলিক।

সংখ্যাতত্ত্বত বীজীয় সংখ্যাৰ অন্তৰ্ভুক্তিৰ প্ৰধান উদ্দেশ্যই হ’ল ডায়’ফেণ্টাইন সমীকৰণ সম্পৰ্কে অধিক খবৰ লোৱাৰ। আমি জানিবা, y^2+2=x^3 সমীকৰণটো সমাধা কৰিব লাগে যাতে x আৰু y অখণ্ড সংখ্যা হয়। আমি তলত দিয়া ধৰণে আগবাঢ়িব পাৰো:

x^3=y^2+2=(y+sqrt{-2})(y-sqrt{-2}).

অলপ মন কৰিলেই গম পোৱা যায় যে সোঁফালৰ উৎপাদক দুটাৰ সাধাৰণ উৎপাদক নাই (গছীয় অখণ্ড সংখ্যাৰ)। আনহাতে, এইটো আমি জানোঁ যে দুটা সংখ্যাৰ পূৰণফল কোনো এটা সংখ্যাৰ ঘন (cube) হ’লে সংখ্যা দুটাৰ প্ৰত্যেকেই একোটা সংখ্যাৰ ঘন। গতিকে এই কথাখিনি বীজীয় সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰতো সত্য বুলি ধৰিলে

y+sqrt{-2}=(a+bsqrt{-2})^3

Rightarrow y+sqrt{-2}=(a^2-6ab^2)+b(3a^2-2b^2)sqrt{-2}.

গতিকে 1=t(3a^2-2b^2) আৰু বাছনি পদ্ধতিৰে সমাধান ইয়াৰ হ’ল a=pm 1,b=1 । গতিকে x, 3 আৰু y=pm 5 একমাত্ৰ নিৰ্ণেয় সমাধান। পিছে কথা হ’ল, ঘন সম্পৰ্কে ইয়াত ধৰি লোৱা কথাখিনি a+bsqrt{-2} ঠাঁচৰ সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত সত্য হয় নে নহয়। দেখা যায় যে এনে সংখ্যাৰ একক মৌলিক উৎপাদকৰ প্ৰকাশৰ ফল হিচাপে ইয়াক প্ৰমাণ কৰিব পৰা যায়।

একক ঘনমূল (w)ৰ ব্যৱহাৰেৰে a^n+b^n ঠাঁচৰ ৰাশি এটাৰ, ওপৰৰ ধৰণৰ উৎপাদক সম্ভৱ। 1874 চনত লেমে (Lame) ফাৰমাৰ উপপাদ্যৰ প্ৰমাণ এটা আগবঢ়ায় এনে ধৰণৰ যুক্তিৰ ওপৰত ভেটি কৰি: “যদি a^n+b^n=c^n (কোনো cৰ বাবে) হয় তেনেহ’লে a^n+b^n ৰ প্ৰতিটো উৎপাদকেই কোনো সংখ্যাৰ n ঘাত।” লেমৰ এই যুক্তিখিনিৰ ওপৰত সন্দেহ প্ৰকাশ কৰি জোচেফ্ লিওভেলিয়ে (Joseph Liouville) লেমলৈ লিখিলে যে এই কথাখিনি সত্য হ’ব যদিহে চাইক্ল’টমিক অখণ্ড সংখ্যা (Cyclotomic integer) বাবেও একক মৌলিক উৎপাদকৰ প্ৰকাশ সম্ভৱ হয়। চাইক্ল’টমিক অখণ্ড সংখ্যা হ’ল অখণ্ড সংখ্যা সহগ হিচাপে থকা (একক nতম মূল) বহুপদী ৰাশি। আৰু লিউভেলিৰ এই শংকা সত্য বুলি প্ৰমাণিত হয় যেতিয়া আৰ্নষ্ট কুমাৰৰ পৰা (Ernst Kumar) গম পায় যে n=23ৰ বাবে চাইক্ল’টমিক অখণ্ড সংখ্যাৰ একক মৌলিক উৎপাদকৰ প্ৰকাশ সম্ভৱ নহয়। কোনো এক ‘ভাল ধাৰণা’— কোনো বিশেষ ক্ষেত্ৰত খাপ নাখালেও, গণিতত ইয়াক এৰি দিয়া নহয়। কুমাৰ, গাউছ আৰু ডিৰিক্লিটৰ ছাত্ৰ এজনে (অকলচাইক্ল’টমিক অখণ্ড সংখ্যাৰে নহয়) যিকেনো বীজীয় সংখ্যা পদ্ধতিৰ সংখ্যাৰ একক মৌলিক পূৰণফলৰ প্ৰকাশৰ এটা বাট মুকলি কৰে। সংখ্যাতত্ত্বৰ এটা বিশেষ সমস্যাৰ লগত জড়িত হৈ থাকোঁতে এয়া পোৱা হয়। সমস্যাটি হ’ল— উচ্চতৰ প্ৰতিক্ৰমিক নিয়ম ( Higher reciprocity law)। এই নিয়মটোৰ সতে জড়িত বিশেষ সম্পৰ্কটো হ’ল: aequiv b^n(mod p) । কুমাৰে ‘আদৰ্শ সংখ্যা’ৰ (ideal number) তত্ত্বৰ প্ৰসাৰ ঘটায়। আদিতে এইবোৰ সংখ্যা নাছিল। সেইবোৰ আছিল “অস্তিত্বহীন সংখ্যাৰ ভূত”।

READ:   Prime Numbers: From Euclid to AKS

এটা ‘আদৰ্শ সংখ্যা’ (ideal number) n হ’ল এটা সম্পৰ্ক (relation)। আচল সংখ্যাৰ মাজত এই সম্পৰ্কটোৱে ‘Congruence modulo n’ ধৰণৰ সম্পৰ্ক স্থাপন কৰে। ওপৰত ইতিমধ্যে ব্যাখ্যা কৰি থোৱা এই সম্পৰ্কটোক এনেদৰেও চাব পাৰি: n=(2) হ’লে ইয়াৰ অৰ্থ হ’ব: x আৰু y কোনো দুটা সংখ্যা হ’লে xequiv y(mod 2)Leftrightarrow x-y সংখ্যাটি 2ৰে বিভাজ্য। এই অৰ্থত n=(2) য়ে এইমাত্ৰ ব্যাখ্যা কৰা x, y সংখ্যাবোৰৰ সংগ্ৰহটো বুজাব। এয়া স্পষ্ট যে এনে কোনো n নাথাকিব, যি কাৰোবাৰ congruent modulo হ’ব।

ওপৰৰ ধৰণৰ আদৰ্শ সংখ্যাৰ এটা ব্যাখ্যাই আজিৰ বিমূৰ্ত বীজগণিতৰ ‘ideal’ৰ ধাৰণাৰ গুৰি। কুমাৰে প্ৰমাণ কৰিছিল যে বীজীয় সংখ্যাক যদিও মৌলিকৰ পূৰণ হিচাপে প্ৰকাশ কৰাটো সদায় সম্ভৱ নহয়, পিছে তেনেকুৱা সংখ্যাৰ একক আদৰ্শ মৌলিকৰ পূৰণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰাটো সম্ভৱ। কুমাৰে এই নতুন ব্যৱস্থাটোৰ জড়িয়তে ফাৰমাৰ উপপাদ্য প্ৰমাণ কৰে— n যেতিয়া regular prime হয়। (100তকৈ সৰু মৌলিকবোৰৰ ভিতৰত 37, 59, আৰু 67ত বাদে বাকীবোৰ regular prime)। এই কায়াদাবোৰকেই প্ৰসাৰ কৰি ভিন্নজনে ভিন্ন ধৰণে চেষ্টা কৰে আৰু 1980ত ৱাগচটাফে (Wagstaff) দেখুৱায় যে ফাৰমাৰ উপপাদ্য n=125,000লৈ সকলো মানৰ বাবেই সত্য। এইখিনিতে গণিতজ্ঞৰ মন্তব্য: “ঘটনাক্ৰমে ই গোৰগোৰায় যে, যদি কোনো বিপৰীত উদাহৰণ স্থিত হয়, তেন্তে ই বৰ বিশালকায় সংখ্যাক সামৰিব, কমেও অন্ততঃ এক মিলিয়ন অংকবিশিষ্ট আৰু এনে এক সংখ্যা আকষ্মিকভাৱে বা কোনো হিচাপৰ ফল হিচাবে বাহিৰ হোৱাৰ কোনো সম্ভাৱনা নাই।”

কোনো সংখ্যা মৌলিক হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰা আৰু সংখ্যাটোক মৌলিক উৎপাদকৰ পূৰণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা— এই দুটা হ’ল সংখ্যাতত্ত্বৰ বিশেষ সমস্যা। আমি আগতে পাই অহা a^{p-1}equiv 1(mod p) এই সম্পৰ্কটো সত্য হয় a আৰু p ৰ গ.সা.গু. 1 হ’লে। সেয়ে এই সম্পৰ্কটো কোনো pৰ বাবে সত্য নহ’লে pটো মৌলিক হ’ব নোৱাৰে। পিছে p মৌলিক নোহোৱাকৈয়ো a, pৰ গ.সা.গু. 1 হ’ব পাৰে। p মৌলিক নহয় অথচ কোনো বিশেষ aৰ বাবে ওপৰৰ সম্পৰ্কটো সত্য হয়— এনে pবোৰৰ প্ৰতিটোকে aৰ পৰস্পৰ মৌলিক বোলা হয়। কোনোৱে এই pবোৰক ভূমি a সাপেক্ষে ‘কৃত্ৰিম মৌলিক’ (pseudo prime) বোলে। এনে সংখ্যা p কেতবোৰ আছে যিবোৰ মৌলিক নহয় অথচ pৰ যিবোৰ মৌলিক উৎপাদক আছে সেইবোৰত বাদে বাকী সকলো ভূমি হিচাবে থকা a সাপেক্ষেই এইবোৰ পৰস্পৰ মৌলিক। এনেবোৰ সংখ্যাক Carmichael numbers বোলে। এইবোৰৰ ভিতৰত আটাইতকৈ সৰলটো হ’ল 5621(=7X11X13)। ইয়াত জি. এপ. মিলাৰ নামৰ এজনৰ এনে ধৰণৰ কিছু জটিল অন্য এটা ধাৰণা আছে। ইয়াতো একেদৰে যদি কোনো সংখ্যাই মিলাৰৰ এই পৰীক্ষাটো নামানে, তেনেহ’লে আমি ক’ব পাৰিম যে সংখ্যাটো মৌলিক নহয়। অৱশ্যে এই পৰীক্ষাটো মানিলে আমি নিশ্চিত নহয় যে সংখ্যাটো এটা মৌলিক সংখ্যা। মিলাৰৰ পৰীক্ষা মানি চলা কোনো এটা সংখ্যাক ভূমি a সাপেক্ষে এটা strong pseudoprime বোলে। যদি নহয় তেনেহ’লে a হ’ব pৰ অমৌলিকতাৰ এটা সাক্ষী। এয়া জানিব পৰা হৈছে যে carmichael সংখ্যাৰ strong pseudo মৌলিকতাৰ বাবে কোনো সদৃশ পৰীক্ষা নাই। আচলতে প্ৰায়বোৰ অমৌলিক সংখ্যাৰেই খুব কম সংখ্যকহে এনে সাক্ষী আছে। উদাহৰণস্বৰূপে 2, 3, 5, 7 সাক্ষী হিচাবে নথকা 25তকৈ সৰু একমাত্ৰ অমৌলিক সংখ্যাটো হ’ল 321503175 । কিন্তু ইয়াত 11 এটা সাক্ষী। ইয়াৰ ওপৰত ভেজা দি ন-টা অংকবিশিষ্ট সংখ্যাৰ এটা কাৰ্যকৰী মৌলিকতাৰ পৰীক্ষা পাব পাৰি। মিলাৰে এই ধাৰণাটোকেই লৈ আৰু আগুৱাই গৈছিল। আমি যদি দেখুৱাব পাৰোঁ যে প্ৰতিটো অমৌলিক সংখ্যাৰেই যথেষ্টভাৱে কম সাক্ষী থাকে, তেনেহ’লে সকলো সংখ্যাকেই সামৰিব পৰাকৈ মৌলিকতাৰ পৰীক্ষা এটা আমি পাম। তেওঁ দেখুৱাইছিল যে যিকোনো অযুগ্ম অমৌলিকৰ ক্ষেত্ৰত— 70times (log)^2 —এই সংখ্যাটোতকৈ সৰু এটা সাক্ষী আছে। পিছে ইয়াক প্ৰমাণ কৰিবলৈ তেওঁ ভেজা দিছে (এতিয়ালৈকে) অপ্ৰমাণিত ৰিমানৰ অনুমানৰ  (Riemann Hypothesis) ওপৰত। গতিকে, প্ৰমাণিত ফলৰ প্ৰতি সন্দেহ মিহলি থকাটো উৎসুকতা স্বাভাৱিক। আমোদৰ কথা এয়ে যে মৌলিকতাৰ পৰীক্ষা কৰিব পৰা নিশ্চয়াত্মক কাৰ্যক্ষম পদ্ধতি আছে অথচ ইয়াৰ স্থিতি প্ৰমাণ কৰিব নোৱাৰোঁ। ৰিমানৰ অনুমান যদি প্ৰকৃততে সত্য হয় তেতিয়াহ’লে এই পৰীক্ষাটো নিশ্চয় কাৰ্যকাৰী হ’ব। কাৰ্যতঃ এই পৰীক্ষাটো প্ৰায় সকলো সংখ্যাতেই প্ৰয়োগযোগ্য হয়। এজন অভিযন্তাৰ মানসিকতাৰে সমস্যাটো সমাধান হৈছেই। পিছে গণিতজ্ঞ এজন এনেদৰে কেতিয়াও সন্তুষ্ট নহয়। কাৰণ উত্তৰটো পোৱা গ’লেও সমস্যাটোৰ বোধত ফাঁক থকা কথাটো তেওঁ নুই কৰিব নোৱাৰে। গণিতজ্ঞই সধাৰণতে এনেবোৰ কথা এৰাই চলিব নোৱাৰে। গণিতজ্ঞই এই কথাটো কেতিয়াও নাপাহৰে যে ওপৰৰ ধৰণৰ ফাঁকৰ মাজতেই বহুতো আকৰ্ষণীয় আৰু দৰকাৰী ধাৰণা সোমাই থাকে।

এম. অ’. ৰবিন (M.O. Robin) নামৰ এজনে ওপৰৰ কাৰ্যকাৰী পৰীক্ষাটো সম্পৰ্কে সন্দেহ মিহলি অথচ সাহসী উপদেশ এটা আগবঢ়ায়। উপদেশটো এনেধৰণৰ: এটা যিকোনো ভূমি লোৱা হ’ল। তাতে মিলাৰৰ পৰীক্ষা কৰা হ’ল। এনেদৰে পুনৰাবৃত্তি কৰি গৈ থকা হ’ল। যিটো সংখ্যাই এই সকলোবোৰ পৰীক্ষাত উত্তীৰ্ণ হ’ব সেই সংখ্যাটো হ’ব এটা ‘প্ৰচুৰ সম্ভাৱানা’ৰ মৌলিক। এই উপদেশটোৱে গাণিতিক সত্যতাৰ সূক্ষ্ম দাৰ্শনিক প্ৰশ্ন তোলে আৰু গাণিতিক মানসিকতাৰ এটা বিশেষ অংশত আলোকপাত কৰে। ইয়াত সোমাই থকা দাৰ্শনিক কথাখিনি এনে ধৰণৰ:

আগৰ যুগৰ দৰে গণিতক এতিয়া আৰু সৰ্বশুদ্ধ বুলি ভবা নহ’ব। মানৱ মনৰ যি কোনো সৃষ্টিত ভুল নিহিত হৈ থাকিব পাৰে। পঞ্চাছটা মিলাৰৰ পৰীক্ষা পাৰ হৈ অহা এটা সংখ্যাৰ সম্ভাৱনা (সংখ্যাটো মৌলিক নহয়) হিচাপ কৰোঁতে হোৱা মানুহৰ ভুল বা এটা কম্পিউটাৰ বা কেলকূলেটৰ এটাৰ ভুলৰ সম্ভাৱনাতকৈ কথাটো এটা পাক লগা কথা।

এই যুক্তিটো সত্য হ’বও পাৰে। তথাপি খুব কমসংখ্যক গণিতজ্ঞইহে ইয়াক মানি ল’বলৈ সাজু। সকলোখিনিতে ভুলৰ সম্ভাৱনা! —এই বিষয়ত তেওঁলোক চিন্তিত। কিয়নো জ্ঞাতভাৱে যুক্তিৰ ত্ৰুটি নিশ্চয়েই গ্ৰহণযোগ্য নহয়। পিছে এনে সন্দেহো কৰিব পাৰে যে সম্ভাৱ্যতাৰ ধাৰণাটো শুদ্ধ নহ’বও পাৰে। কোনো এটা সংখ্যা হয়তো মৌলিক অথবা মৌলিক নহয়। গতিকে— 0 সম্ভাৱ্যতাৰ এটা মৌলিক অথবা 1 সম্ভাৱ্যতাৰ এটা মৌলিক, পিছে সমস্যা হ’ল যে ইয়াৰ কোনটো তাক আমি নাজানোঁ। এনে ক্ষেত্ৰত 12345321999....627, এই সংখ্যাটো 0.9999-9 সম্ভাৱ্যতাৰ এটা মৌলিক— এনে ধৰণৰ সিদ্ধান্ত অৰ্থহীন।

1980 চনত এডলমেন আৰু ৰবাৰ্ট ৰিঅ’মেলিয়ে আৰু দূৰলৈ দৃষ্টি প্ৰসাৰিত কৰে। তেওঁলোকে কিছুমান ধাৰণা পালে যিয়ে মিলাৰৰ পৰীক্ষাত এনে ধৰণে পৰিশোধন কৰিবলৈ সাজু থাকে যে, কোনো ধৰণৰ সম্ভাৱ্যতাৰ ভেটি নোহোৱাকৈ বা কোনো অনুমান নিৰপেক্ষভাৱে মৌলিক বা অমৌলিকতা নিৰ্ণয় কৰে। বহু সময় ল’লেও উপযুক্ত নিয়মটো অন্ততঃ 200 অংক বিশিষ্ট মৌলিক সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত সম্পূৰ্ণভাৱে কাৰ্যকাৰী বা প্ৰয়োগযোগ্য।

বৃহৎ সংখ্যাৰ মৌলিকতা প্ৰমাণ কৰিবলৈ লেনষ্ট্ৰা নামৰ এজনে উপবৃত্তীয় বক্ৰ (elliptic curve) ব্যৱহাৰ কৰিও আগবাঢ়িছে, সংখ্যাটোৰ উৎপাদকৰ সংখ্যা তিনি বা ততোধিক হ’লে এই পদ্ধতি কাৰ্যকৰী হয়।

প্ৰবন্ধটি ইয়াতেই সামৰিব খুজিছোঁ এটা অন্য ভাল লগা লক্ষণীয় কথা উল্লেখ কৰি। সেয়া হ’ল— প্ৰায় অৰ্ধ শতিকা জুৰি সংখ্যাতত্ত্ববিদসকলে উপবৃত্তীয় বক্ৰ অধ্যয়ন কৰি আহিছে ইয়াৰ অন্তঃসৌন্দৰ্যৰ বাবে। পিছে কোনেও সংখ্যাৰ মৌলিক উৎপাদকৰ সৈতে ইয়াৰ সম্পৰ্ক গঢ়াৰ কথাটো ভবা নাছিল।

(টোকা: এন্দ্ৰু ৱাইলচ নামৰ প্ৰিন্সটন বিশ্ববিদ্যালয়ৰ অধ্যাপক এজনে ফাৰমাৰ অন্তিম উপপাদ্যৰ প্ৰমাণ আগবঢ়ায় ১৯৯৪ চনত।)

 

লেখকৰ গণিত : এটি বিৰক্তিকৰ বিষয়!গ্ৰন্থখনৰ পৰা

[ad#ad-2]

Print Friendly, PDF & Email
The following two tabs change content below.
2 Comments
  • RT
    Posted at 08:15h, 14 May Reply

    Since this is on prime numbers, thought of posting this. http://en.wikipedia.org/wiki/AKS_primality_test

    This is said to be the first primality proving algorithm to be all { general, polynomial, deterministic, and unconditional }. Before this algorithms had at most 3 of these properties.

    One interesting point is link to Assam. AKS stands for Agrawal–Kayal–Saxena. Neeraj Kayal is one of the authors of this. He was born and raised in Guwahati { Don Bosco and then Cotton for 12th }

    • Gonit Sora
      Posted at 11:00h, 20 May Reply

      Thanks for the comment. Dr. Kayal is presently in the MIcrosft Research centre at Bangalore and is engaged in research in theoretical computer science and mathematics.

Post A Comment