क्षेत्रीय गणित ओलिंपियाड – 2013

समय: तीन घंटा

दिसम्बर 01, 2013

निर्देश:

· किसी भी तरह कैलकुलेतर तथा चांदा (protractor) के उपयीग की अनुमति नहीं है।

· पैमाना (ruler) तथा परकार (compass) उपयीग किये जा सकते हैं।

· सभी प्रश्नों का उत्तर दीजिये।

· सभी प्रश्नों के अंक समान हैं। अधिकतम अंक: 102

· प्रत्येक प्रश्न के उत्तर का आरम्भ नए पेज से कीजिये। प्रश्न संख्या स्पष्ट रूप से इंगित कीजिये।

1. मान लीजिये कि $$ABC$$ एक न्युनकोण त्रिभुज है। वृत्त $$Gamma$$ जिसका व्यास $$BC$$ है, $$AB$$ तथा $$AC$$ को क्रमश: $$P$$ तथा $$Q$$ पर काटना है। यढि त्रिभुज $$APQ$$ का लंबकेंढ्र $$Gamma$$ की परिधि पर है तो $$angle BAC$$ का मान ज्ञात कीजिये।

2. मान लीजिये $$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$$ तथा $$g(x)=x^3+bx^2+cx+a$$ जहाँ $$a,b,c$$ पूर्णांक हैं तथा $$cneq 0$$ । यह भी मानिये की निम्नलिखित शर्तें संतुष्ट होती हैं:

(a) $$f(1)=0;$$

(b) समीकरण $$g(x)=0$$ के मूल समीकरण $$f(x)=0$$ के मूल का वर्ग हैं।

तब $$a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}$$ का मान ज्ञात कीजिये।

1. वह समी अभाज्य संख्याएँ $$p$$ तथा $$q$$ ज्ञात कीजिये जबकि $$q^2-4$$ को $$p$$ तथा $$p^2-1$$ की $$q$$ पूर्णत: विभाजित करता हो।

2. दस पूर्णांकों के ऐसे युग्मों $$(a_1,a_2,dots ,a_{10})$$ की कुल संख्या ज्ञात कीजिये जिसमें कि $$|a|leq 1$$ तथा

$$a_1^2+a_2^2+dots +a_{10}^2-a_1a_2-a_2a_3-a_3a_4-dots -a_9a_{10}-a_{10}a_1=2.$$

1. मान लीजिये कि $$ABC$$ एक त्रिभुज है जिसमें कि $$angle A=90^{circ}$$ तथा $$AB=AC$$ । मान लीजिये कि बिंदु $$D$$ तथा $$E$$ अनुभाग $$BC$$ पर इस तरह हैं कि $$BD:DE:EC=3:5:4$$ । सिद्ध कीजिये कि $$angle DAE=45^{circ}$$ ।

2. मान लीजिये कि $$m$$ तथा $$n$$ पूर्णांक इस तरह हैं की द्रिघात समीकरण $$x^2+mx-n=0$$ तथा $$x^2-mx+n=0$$ के मूल पूर्णांक हैं। सिद्ध कीजिये कि $$n$$ को 6 पूर्णत: विभाजित करता है।