राष्ट्रीय गणित ओलिंपियाड – 2014

समय: चार घंटा
फ्ररवरी 02, 2014

निर्देश:
• किसी भी तरह कैलकुलेतर तथा चांदा (protractor) के उपयीग की अनुमति नहीं है।
• पैमाना (ruler) तथा परकार (compass) उपयीग किये जा सकते हैं।
• सभी प्रश्नों का उत्तर दीजिये। सभी प्रश्नों के अंक समान हैं। अधिकतम अंक: 102
• प्रत्येक प्रश्न के उत्तर का आरम्भ नए पेज से कीजिये। प्रश्न संख्या स्पष्ट रूप से इंगित कीजिये।

_______________________________________________________________________________

1. एक त्रिभुज $$ABC$$ में मान लीजिये कि अनुभाग $$BC$$ पर $$D$$ एक बिंदु है जिसके लिय $$AB+BD=AC+CD.$$ यह भी मान लीजिये कि बिंदु $$B,C,$$ तथा त्रिभुज $$ABD$$ और $$ACD$$ के केन्द्रक एक वृत्त पर हैं। सिद्ध कीजिये कि $$AB=AC.$$

2. मान लीजिये कि $$n$$ एक प्राकृत संख्या है। सिद्ध कीजिये कि
$$[frac{n}{1}]+[frac{n}{2}]+[frac{n}{3}]+dots +[frac{n}{n}]+[sqrt{n}]$$
एक सम संख्या है। (यहाँ $$[x]$$ $$x$$ सबसे बड़े ऐसे पूणांक को निरुपित करता है जो या तो $$x$$ से छोटा है या बराबर।)

3. मान लीजिये कि $$a,b$$ ऐसी प्राकृत संख्याएं हैं जिनके लिए $$ab>2.$$ मान लीजिये कि उनके महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक का योग $$a+b$$ से विभाज्य है। सिद्ध कीजिये कि उनका भागफल $$frac{a+b}{4}$$ से अधिक नही ही सकता है। यह भागफल कब $$frac{a+b}{4}$$ के ठीक ठीक बराबर होगा?

4. एक श्यामपट (blackboard) पर एक बहुपद समीकरण $$x^2+x+2014$$ लिखा है। केल्विन और हाँब्स आगे बताये गए खेल में बारी बारी से (शुरुआत केल्विन से) अपनी चालें चलते हैं। अपनी बारी में केल्विन को $$x$$ के गुणांक को 1 से बढ़ाना या घटाना चाहिये। केल्विन उस समय जीता हुआ माना डायेगा यदि उस समय श्यामपट पर लिखे बहुपद के मूल पूणांक हैं। सिद्ध कीजिये कि केल्विन की विजयी रणनीति है।

5. एक न्यूनकोण त्रिभुज $$ABC$$ में एक बिंदु $$D$$ अनुभाग $$BC$$ पर है। मान लीजिये कि $$O_1,O_2$$ क्रमशः त्रिभुज $$ABD$$ तथा $$ACD$$ के परिकेंद्र को निरूपित करते हैं। सिद्ध कीजिये कि त्रिभुज $$ABC$$ के परिकेंद्र तथा रिभुज $$O_1O_2D$$ के लंबकेन्द्र को मिलाने को मिलाने वाली रेखा, $$BC$$ के समान्तर है।

6. मान लीजिये कि $$n$$ एक प्राकृत संख्या है तथा $$X={1,2,dots ,n}.$$ समुच्चाय $$X$$ के उपसमुच्चाय $$A$$ और $$B$$ के लिए $$ADelta B, X$$ के उन सभी अवयवों का समुच्चाय है जो $$A$$ अथवा $$B$$ में से केवल और केवल किसी एक का सधस्य हैं। मान लीजिये कि $$F$$ समुच्चाय $$X$$ के उपसमुच्चायों का समूह हस प्रकार है कि $$F$$ के किन्हीं दो भित्र अवयवों $$A$$ तथा $$B$$ के लिए $$ADelta B$$ में कम से कम दो अवयव हैं। दिखाइये कि $$F$$ में कम से कम $$2^{n-1}$$ अवय़व हैँ। वह सभी समुह $$F$$ क्षात कीजिये जिनके कुल अवयवों की संख्या $$2^{n-1}$$ है।