ৰামানুজন সংখ্যাৰ আঁৰত
কেম্ব্ৰিজ বিশ্ববিদ্যালয়ৰ গণিতৰ অধ্যাপক জি. এইচ. হাৰ্ডিয়ে উৎকণ্ঠা মিহলি মৰমিয়াল মাতেৰে সুধিলে: ‘কেনে আছা ?’ ‘ধন্যবাদ। ভালেই আছো।’ বিছনাত শুই থকা ৰোগীজনে উত্তৰ দিলে। হাৰ্ডি কিন্তু সন্তুষ্ট নহ’ল। ৰোগীৰ মুখত তেতিয়া প্ৰকট হৈ উঠাছে ভয়ানক ৰোগৰ বিৰুদ্ধে চলোৱা তীব্ৰ যুঁজ। কেইটামান মুহূৰ্তৰ পিছত হাৰ্ডিয়ে ক’লে- ‘ইয়ালৈ মই অহা টেক্সিখনৰ নম্বৰ আছিল 1729(=7×13×19) । সংখ্যাটো কিন্তু মোৰ ভাল লগা নাই। এয়া কিবা বিপদৰ আগজাননী নহ’লেই ৰক্ষা।’
ৰোগীৰ মাজত থকা প্ৰতিভা ততালিকে তেওঁৰ দুচকুত তিৰবিৰাই উঠিল। তেওঁ মন্তব্য কৰিলে- ‘ওহোঁ এয়াতো বৰ মজাৰ সংখ্যা। দৰাচলতে দুটা ঘনকৰ যোগফল দুটা ভিন্ন ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পৰা এইটোৱেই আটাইতকৈ সৰু সংখ্যা $$(1729=12^{3}+1^{3}=10^{3}+9^{3})$$ ।’
উত্তৰটো শুনি হাৰ্ডি অবাক হ’ল। তেওঁ সুধিলে ‘চতুৰ্থ ঘাটৰ বাবে এই লেখিয়া সংখ্যাটো কি হ’ব জানেনে ?’ মুহূৰ্ততে উত্তৰ আহিল- ‘কোনো সঠিক উদাহৰণ মোৰ মনলৈ অহা নাই। কিন্তু এয়ে প্ৰথম সংখ্যাটো বৰ ডাঙৰ হ’ব বুলিয়ে মোৰ ধাৰণা।’
তেওঁ ঠিকেই ভাবিছিল। বিচৰা সংখ্যটো আছিল নটা অংকৰ। এয়া হ’ল 635318657 । $$635318657=158^{4}+59^{4}=133^{4}+134^{4}$$ ।
মৃত্যুশয্যাত শুই থাকিও মানুহ এজন যে মানসিকভাবে ইমান সজীৱ আৰু সতৰ্ক হ’ব পাৰে এই কথাই ৰোগীৰ বিশাল গাণিতিক দক্ষতাকে প্ৰতিফলিত কৰে। এইজনা ৰোগীয়েই আছিল ভাৰতবৰ্ষৰ সৰ্বশ্ৰেষ্ঠ গণিতজ্ঞ শ্ৰীনিবাস ৰামানুজন। তেওঁৰ জন্ম হৈছিল তামিলনাডুত, 1887চনৰ ডিচেম্বৰৰ বাইশ তাৰিখে। দ্বিতীয় শ্ৰেণীত থাকোতেই গণিতৰ পৰম সত্য জানিবৰ বাবে তেওঁৰ বিশেষ ধাউতি হয় আৰু ওপৰ শ্ৰেণীৰ কেতবোৰ বন্ধুক এই কথা সোধে। চতুৰ্থ শ্ৰেণীত তেওঁ ত্ৰিকোণমিতি পঢ়িবলৈ লয়। তদুপৰি তেওঁ চুবুৰীয়া বি এ পঢ়ি থকা ছাত্ৰ এজনৰ পৰা ল’নিয়ে লিখা ত্ৰিকোণমিতিৰ তৃতীয় খণ্ড ধাৰ কৰি নিয়ে। ছাত্ৰজনে দেখিলে যে এই কুমলীয়া ল’ৰাজনে কেৱল কিতাপখন পঢ়িয়েই শেষ কৰা নাই, তেওঁ তাৰ প্ৰতিটো অনুশীলনেই কোনো সহায় নোলোৱাকৈ কৰিবও পাৰে। পঞ্চম শ্ৰেণীত অয়লাৰৰ চাইন আৰু ক’চাইনৰ সিদ্ধান্তত কাৰো সহায় নোলোৱাকৈ নিজে নিজেই উপনীত হয়গৈ। পিছত এই সিদ্ধান্তটো আগতেই প্ৰমাণিত বুলি জানি ফলাফলবোৰ নিজৰ ঘৰৰ ছালতে লুকুৱাই থৈছিল। এইবোৰেই স্পষ্টকৈ দেখুৱায় যে দহবছৰৰ আগতেই তেওঁৰ মাজত এক বিশেষ গণিতিক ক্ষমতা জাগি উঠিছিল। দহ বছৰ অতিক্ৰম নৌ কৰোতেই তেওঁ এক অসাধাৰণ ল’ৰাৰূপে পৰিগণিত হয়। ইয়াৰ পিছৰে পৰা তেওঁ এটাৰ পিছত এটাকৈ সিদ্ধান্ত খোলা কাকতত লিখিবলৈ লয়। পিছলৈ ইয়ে তেওঁৰ টোকাবহী Ramanujan’s Notebook নামে জনাজাত হয়। বৰ্তমান এই টোকাবহী সমগ্ৰ পৃথিৱীৰে পণ্ডিতসকলৰ আলোচনা আৰু গৱেষণাৰ বিষয় হৈ পৰিছে। এতিয়ালৈকে তেওঁৰ টোকাবহী পাঁচটা প্ৰকাশিত হৈছে। এই পাঁচোটি খণ্ড লিখে আমেৰিকাৰ বিখ্যাত গণিতজ্ঞ অধ্যাপক ব্ৰুচ চি বাৰ্ণ্টে।
প্ৰতিটো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাই ৰামানুজনৰ বন্ধু আছিল। প্ৰতিটো সংখ্যাৰেই কিছুমান বিশেষ গুণ তেওঁ দেখা পাইছিল। উদাহৰণস্বৰূপে, 1729 আমাৰ বাবে এক সাধাৰণ সংখ্যা। কিন্তু ৰামানুজনে ইয়াৰ প্ৰকৃত নান্দনিক ৰূপ দেখা পাইছিল। এনেকুৱা সংখ্যবোৰ এতিয়া ৰামানুজন সংখ্যা হিচাপে জনাজাত।
1729 সংখ্যাটো আৰু বহুত সৌন্দৰ্যৰে সমৃদ্ধ। 1729 সংখ্যটোৰ ভাজকবোৰ হ’ল 1, 7, 13, 19, 91, 133, 247 আৰু 1729 । এই ভআজকবোৰৰ ভিতৰত প্ৰথম তিনিটা মৌলিক ভাজক হ’ল 7, 13 আৰু 19 । উল্লেখযোগ্য যে
7×13×19=1729 আৰু
7×13×19×91×133×247=$$1729^{3}$$
লগতে, 7=1×6+1
13=2×6+1
15=3×6+1
91=15×6+1
133=22×6+1
1729=288×6+1
আকৌ 1729 ক দুটা বৰ্গৰ পাৰ্থক্য হিচাপে চাৰিটা ভিন্ন ৰূপত প্ৰকাশ কৰিব পৰি।
$$1729=55^{2}-36^{2}=73^{2}-60^{2}=127^{2}-120^{2}=856^{2}-864^{2}$$
মন কৰিলে দেখা যায় যে 60481729 আৰু 4941729 সংখ্যা দুটাৰ শেষত 1729 সংখ্যাটো আছে। এতিয়া যদি 60481729 সংখ্যাটোক দুটা সংখ্যা 6048 আৰু 1729 ত ভগাই যোগ কৰি বৰ্গ কৰা হয়, তেন্তে আকৌ আগৰ সংখ্যাটোকে পোৱা যাব। অৰ্থাৎ
$$(6048+1729)^{2}=7777^{2}=60481729$$
একেদৰে $$(494+1729)^{2}=2223^{2}=4941729$$
আকৌ, এই সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফলৰো 1729 সংখ্যটোৰ লগত সম্পৰ্ক আছে। কিয়নো
60481729×4941729
$$~~=7777^{2}times 2223^{2}$$
$$~~=7^{2}times 1111^{2}times 9^{2}times 247^{2}$$
$$~~=9^{2}times 1111^{2}times (7times 247)^{2}=9999^{2}times 1729^{2}$$
আনহাতে, যদি সংখ্য দুটাৰ পৰা 1729 অংশটো হাদ দিয়া হয় তেতিয়ও ৰৈ যোৱা অংশদুটাৰ পূৰণফলৰ 1729 সংখ্যাটোৰ লগত সম্পৰ্ক থাকে।
6048×494=2987712
=2989441-1729
$$=1729^{2}-1729$$
=1729×1728
1729 সংখ্যাটো কিমান মজাৰ সংখ্যা ?
1729 ক দুটা ক্ৰমিক সংখ্যাৰ ঘনফলৰ যোগফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰিব পাৰি। ইয়াতকৈ সৰু এনে সংখ্যা 9 টা ।
এটা যৌগিক অখণ্ড সংখ্যা n য়ে যদি ইয়াৰ সকলো পৰস্পৰ মৌলিক সংখ্যা b ৰ বাবে তলৰ ধৰ্মটো সিদ্ধ কৰে,
$$b^{n-1}equiv 1(mod~n)$$
তেন্তে এনেকুৱা সংখ্যাবোৰক এটা বিশেষ ভাগত ধৰা হয়। 1729 য়েও এই ধৰ্ম সিদ্ধ কৰে। 1729 তকৈ সৰু এনে সংখ্যা মাত্ৰ দুটাহে আছে। সেই দুটা হ’ল 561 আৰু 1105 ।
1729 ক অংককেইটাৰ যোগফলে হৰণ যায়। সেইবাবে ই এটা হৰ্ষদায়ক সংখ্যা (Harshad Number)। সংখ্যাটোৰ এই ধৰ্ম Octal আৰু Hexadecimal প্ৰণালীটো অটুত থাকে, কাৰণ-
$$1729=(3301){8}$$ , $$3+3+0+1=(7){8}$$ , আৰু $$(3301){8}$$ক $$(7){8}$$ৰে হৰণ কৰিলে $$(367)_{8}$$পোৱা যায়।
আনহাতে, $$1729=(6C1){16}$$ , $$6+C+1=(13){16}$$ , আৰু $$(6C1){16}$$ ক $$(13){16}$$ ৰে হৰণ কৰিলে $$(5B)_{16}$$ পোৱা যায়। উল্লেখযোগ্য যে এইধৰণৰ সংখ্যাৰ সংজ্ঞা ভাৰতৰে এজন গণিতজ্ঞই প্ৰস্তুত কৰে।
1729 সংখ্যটোৰ দৰে দুটা ঘণকৰ যোগফল হিচাপে দুটা ভিন্ন ৰূপত লিখিব পৰা আন সংখ্যবোৰ হ’ল-
$$4104=2^{3}+16^{3}=9^{3}+15^{3}$$
$$20683=10^{3}+27^{3}=19^{3}+24^{3}$$
$$39312=2^{3}+34^{3}=15^{3}+33^{3}$$ ………ইত্যাদি।
এইবোৰ সংখ্যাই হৈছে ৰামানুজন সংখ্যা। 1729 হ’ল আটাইতকৈ সৰু ৰামানুজন সংখ্যা।
ৰামানুজনৰ এই ধাৰণাটো যিকোনো ঘাতলৈ অধ্যয়ন কৰিব পাৰি। উদাহৰণস্বৰূপে, দুটা বৰ্গৰ যোগফল হিচাপে দুটা ভিন্ন ৰূপত লিখিব পৰা কিচুমান সংখ্যা হ’ল-
$$65=1^{2}+8^{2}=4^{2}+7^{2}$$
$$130=3^{2}+11^{2}=7^{2}+9^{2}$$ ইত্যাদি।
এইবোৰ সংখ্যাক দ্বিতীয় শ্ৰেণীৰ ৰামানুজন সংখ্যা বোলে।
চতুৰ্থ ঘাটৰ যোগফল হিছাপে দুটা ভিন্ন ৰূপত লিখিব পৰা কিছুমান সংখ্য হ’ল-
$$635318657=59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}$$
$$3262811042=7^{4}+239^{4}=157^{4}+227^{4}$$
অৰ্থাৎ এইবোৰ হ’ল চতুৰ্থ শ্ৰেণীৰ ৰামানুজন সংখ্যা।
এনেদৰে এটা সংখ্যা $$R_{n}$$ ক n-শ্ৰেণীৰ ৰামানুজন সংখ্যা বুলি কোৱা হয় যদি স্বাভাৱিক সংখ্যা $$x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}$$ ৰ বাবে $$R_{n}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n}=y_{1}^{n}+y_{2}^{n}$$ হয় $$(x_{1}neq y_{1},x_{2}neq y_{2})$$ । অৰ্থাৎ 1729 এটা $$R_{2}$$ সংখ্যা আৰু এইটো আটাইতকৈ সৰু $$R_{2}$$ সংখ্যা। একেদৰে 635318657 আটাইতকৈ সৰু $$R_{4}$$ সংখ্যা। আটাইতকৈ সৰু $$R_{5}$$ সংখ্যাটো কি ?
এতিয়ালৈকে লেণ্ডাৰ আৰু পাৰকিন নামৰ দুজন গণিতজ্ঞই কম্পিউটাৰৰ সহায়ত দেখুৱায় যে 1 ৰ পৰা 28×1014 ৰ ভিতৰত কোনো $$R_{5}$$ সংখ্যা নাই। অৰ্থাৎ যদি m এটা 28×1014 ত কৈ সৰু স্বাভাৱিক সংখ্যা হয়, তেন্তে স্বাভাৱিক সংখ্যা $$x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}~~(x_{1}neq y_{1},x_{2}neq y_{2})$$ পোৱা নাযায় যাতে
$$M=x_{1}^{5}+x_{2}^{5}=y_{1}^{5}+y_{2}^{5}$$ হয়।
এনেকুৱা বহুতো সংখ্যাৰ সন্ধান চলি আছে। এয়া গণিতৰ বিশেষ গৱেষণাৰ বিষয়।
আকৌ, এই ধৰণৰ অধ্যয়ন আন এটা দিশলৈয়ো প্ৰসাৰিত হয়- দুটা ঘনকৰ যোগফল হিছাপে n ধৰণে প্ৰকাশ কৰিব পৰা আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটোক nতম Taxicab সংখ্যা বোলে আৰু ইয়াক ta(n) ৰে বুজোৱা হয়। গতিকে, 1729 হ’ল দ্বিতীয় taxicab সংখ্যা। $$2=1^{3}+1^{3}$$, সেইবাবে 2 হ’ল প্ৰথম taxicab সংখ্যা, অৰ্থাৎ ta(1)=2.
সেইদৰে,
$$~~~ta(3)=87539319=167^{3}+436^{3}$$
$$~~~~~~=228^{3}+423^{3}$$
$$~~~~~~=255^{3}+414^{3}$$ ,
$$~~~ta(4)=6963472309248=2421^{3}+19083^{3}$$
$$~~~~~~=5436^{3}+18948^{3}$$
$$~~~~~~=10200^{3}+18072^{3}$$
$$~~~~~~=13322^{3}+16630^{3}$$ ,
$$~~~ta(5)=48988659276962496=38787^{3}+365757^{3}$$
$$~~~~~~=107839^{3}+362753^{3}$$
$$~~~~~~=205292^{3}+342952^{3}$$
$$~~~~~~=221424^{3}+336588^{3}$$
$$~~~~~~=231518^{3}+331954^{3}$$ ,
$$~~~ta(6)=24153319581254312065344=582162^{3}+28906206^{3}$$
$$~~~~~~=3064173^{3}+28894803^{3}$$
$$~~~~~~=8519281^{3}+286574487^{3}$$
$$~~~~~~=16218068^{3}+27093208^{3}$$
$$~~~~~~=17492496^{3}+26590452^{3}$$
$$~~~~~~=18289922^{3}+26224366^{3}$$ ,
এতিয়ালৈকে এই ছটাহে taxicab সংখ্যা জানিব পৰা গৈছে। অৱশ্যে ta(7) ৰ পৰা ta(12) লৈকে taxicab সংখ্যাকেইটা কিমান ডাঙৰ হ’ব পাৰে (upper bound) তাক 2006 চনত খ্ৰিষ্টিয়ান বয়াৰ নামৰ গণিতজ্ঞজনে প্ৰকাশ কৰিছে।
আকৌ, আন এক ধৰণৰ সংখ্যা হ’ল cabtaxi সংখ্যা। দুটা ঘণকৰ যোগফল বা (/আৰু) বিয়োগফল হিছাপে n ধৰণে লিখিব পৰা আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটোক nতম cabtaxi সংখ্যা [cabtaxi(n)] বোলে। গতিকে,
$$cabtaxi(1)=1=1^{3}pm 0^{3}$$,
$$cabtaxi(2)=91=3^{3}+4^{3}=6{3}-5^{3}$$ ,
$$cabtaxi(3)=728=6^{3}+8^{3}=9^{3}–1^{3}=12^{3}–10^{3}$$ ,
$$cabtaxi(4)=2741256=108^{3}+114^{3}$$
$$=140^{3}-14^{3}$$
$$=168^{3}-126^{3}$$
$$=207^{3}-183^{3}$$ ,
$$cabtaxi(5)=6017193=166^{3}+113^{3}$$
$$=180^{3}+57^{3}$$
$$=185^{3}-68^{3}$$
$$=209^{3}-146^{3}$$
$$=246^{3}-207^{3}$$ ,
$$cabtaxi(6)=1412774811=963^{3}+804^{3}$$
$$=1134^{3}-357^{3}$$
$$=1155^{3}- 504^{3}$$
$$=1246^{3}-805^{3}$$
$$=2115^{3}-2004^{3}$$
$$=4746^{3}-4725^{3}$$ ,
$$cabtaxi(7)=11302198488=1926^{3}+1608^{3}$$
$$=1939^{3}+1589^{3}$$
$$=2268^{3}-714^{3}$$
$$=2310^{3}-1008^{3}$$
$$=2492^{3}-1610^{3}$$
$$=4230^{3}-4008^{3}$$
$$=9492^{3}-9450^{3}$$ ,
$$cabtaxi(8)=137513849003496=22944^{3}+50058^{3}$$
$$=36547^{3}+44597^{3}$$
$$=36984^{3}+44298^{3}$$
$$=52164^{3}-16422^{3}$$
$$=53130^{3}-23184^{3}$$
$$=57316^{3}-37030^{3}$$
$$=97290^{3}-92184^{3}$$
$$=218316^{3}-217350^{3}$$ ,
$$cabtaxi(9)=424910390480793000=645210^{3}+538680^{3}$$
$$=649565^{3}+532315^{3}$$
$$=752409^{3}-101409^{3}$$
$$=759780^{3}-239190^{3}$$
$$=773850^{3}-337680^{3}$$
$$=834820^{3}-539350^{3}$$
$$ =1417050^{3}-1342680^{3}$$
$$=3179820^{3}-3165750^{3}$$
$$=5960010^{3}-5956020^{3}$$ ,
$$cabtaxi(10)=933528127886302221000=7002840^{3}+8387730^{3}$$
$$=6920095^{3}+8444345^{3}$$
$$=77480130^{3}-77428260^{3}$$
$$=41337660^{3}-41154750^{3}$$
$$=18421650^{3}-17454840^{3}$$
$$=10852660^{3}-7011550^{3}$$
$$=10060050^{3}-4389840^{3}$$
$$=9877140^{3}-3109470^{3}$$
$$=9781317^{3}-1318317^{3}$$
$$=9773330^{3}-84560^{3}$$
এনে সংখ্যা এতিয়ালৈকে মাথোঁ দহটাহে জানিব পৰা গৈছে। cabtaxi(11) ৰ পৰা cabtaxi(22) লৈ cabtaxi সংখ্যাকেইটা কিমান ডাঙৰ হ’ব পাৰে সেইয়া 2008 চনত প্ৰকাশ হৈছে।
সঁচাকৈ অপৰিসীম বৌদ্ধিক ক্ষমতা লৈ জন্ম লৈছিল ৰামানুজনে। তেওঁৰ সংখ্যাতত্ব সম্পৰ্কীয় মৌলিক গৱেষণাই অধ্যাপক জি. এইচ. হাৰ্ডিৰ দৰে আগশাৰীৰ গণিতজ্ঞকো বিপাঙত পেলাইছিল। 1918 চনৰ 28 ফেব্ৰুৱাৰীত তেওঁ ৰয়েল ছ’চাইটিৰ ফেল’(সদস্য) নিৰ্বাচিত হয়। এয়া ব্ৰিটেইন ব্ৰিটিছ সাম্ৰাজ্যৰ বিজ্ঞান জগতৰ সৰ্ব্বোচ্চ সন্মান। তেওঁৰ স্মৰণশক্তি আৰু সংখ্যাৰ বিচিত্ৰতা উন্মেষণৰ কৃতিত্বই সৃষ্টি কৰে বিস্ময়ৰ। এইগৰাকী মহান গণিতজ্ঞৰ 1920 চনৰ 26 এপ্ৰিলত অকাল বিয়োগ হয়। তেখেতৰ মৃত্যু বিশ্বৰ গণিত জগতৰ বাবে দুৰ্ভাগ্যজনক। এই চমু জীৱনকালতে তেওঁ হয়গৈ শতিকাৰ অন্যতম শ্ৰেষ্ঠ গণিতজ্ঞ।
2005 চনত International Center for Theoretical Physics (ICTP) য়ে আন্তঃৰাষ্ট্ৰীয় গাণিতিক সংঘৰ (International Mathematical Union) সহযোগত উন্নয়নশীল দেশসমূহৰ যুৱ গণিতজ্ঞসকলৰ বাবে ‘Ramanujan Prize’ প্ৰণয়ন কৰিছে । Neils Henrik Abel Memorial Fund য়ে ইয়াৰ অৰ্থ প্ৰদান কৰে। ৰামানুজনৰ নামত এনে আন্ত:ৰাষ্ট্ৰীয় পুৰষ্কাৰ প্ৰণয়নে এক বিৰল নিদৰ্শন দাঙি ধৰিছে আৰু ইয়াৰ জড়িয়তে গণিতৰ কোনো এটা বিষয়ো অধ্যয়ন কৰিব নোৱাৰা সকলেও তেওঁৰ প্ৰতিভাৰ কথা উপলব্ধি কৰিব পাৰে। উল্লেখযোগ্য যে, এই পুৰষ্কাৰ লাভ কৰা একমাত্ৰ ভাৰতীয় গণিতজ্ঞজন হ’ল সূজাতা ৰামদৰাই।
[টোকা:- 2006 চনৰ আগষ্ট মাহৰ “বিজ্ঞান জিজ্ঞাস”ত প্ৰকাশিত একে নামৰ প্ৰৱন্ধটোত নতুন তথ্যৰে সমৃদ্ধ কৰি বৰ্ধিত আকাৰত প্ৰকাশ কৰা হ’ল।]
লেখক: ড৹ ৰূপম বৰ্মণ,
প্ৰবক্তা, গণিত বিজ্ঞান বিভাগ,
তেজপুৰ বিশ্ববিদ্যালয়।