পাটীগণিতীয় বৰ্তনী


Download this post as PDF (will not include images and mathematical symbols).


গণিত আৰু দৈনন্দিন জীৱন উভয়তে সমস্যা এটা সমাধান কৰিবলৈ কৰা ব্যৰ্থ সংগ্ৰ্ৰামে আমাক বৃত্ত এটাৰ চাৰিওফালে গতি কৰি থকাৰ দৰে অনুভৱ কৰিবলৈ বাধ্য কৰায়। “বৃত্ত এটাৰ চাৰিওফালে গতি কৰি থকা”– এনে ধৰণৰ পৰিঘটনাৰ বিষয়ে যদি অনুসন্ধান কৰা হয়, তেন্তে গণিতত এনে ধৰণৰ পৰ্য্যাপ্ত পৰিমাণৰ আমোদজনক পৰিঘটনা পোৱা যায়। এই প্ৰ্ৰবন্ধটিত আমাৰ সংখ্যা পদ্ধতি(Number system)টোৰ এনেধৰণৰ কিছুমান বিষ্ময়কৰ দিশ আৰু এইবোৰৰ চমু পৰ্য্যালোচনা আগবঢ়াবলৈ লোৱা হৈছে, য’ত সংখ্যাবোৰৰ কিছুমান আশ্চৰ্যকৰ সম্পৰ্কই এটা বস্তুৰ চাৰিওফালে গতি কৰি থকা সদৃশ একোটা বৰ্তনী গঠন কৰে।

89 বৰ্তনী (89 Loop):

এই  বৰ্তনীটো তেনেই স্বাভাৱিক। অৰ্থাৎ আপুনি যদি যিকোনো এটা সংখ্যা বাছি লয় আৰু সেই সংখ্যাটোৰ অংককেইটাৰ যোগফল লয় আৰু যোগফলটো এটা একক অংকৰ সংখ্যা নোপোৱালৈকে যদি সংখ্যাটোৰ অংককেইটাৰ যোগফল লোৱা পদ্ধতিটো ক্ৰমান্বৱে কৰি গৈ থাকে তেন্তে অৱশেষত আপুনি কোনো আশ্চৰ্য্য নোহোৱাকৈ যিকোনো এটা স্বাভাৱিক সংখ্যাত উপনীত হ’ব। উদাহৰণস্বৰূপে,

ধৰাহ’ল সংখ্যাটি 985

অৰ্থাৎ n=985: 9+8+5=22, 2+2=4

আকৌ যদি সংখ্যাটো 5897 হয় তেন্তে পদ্ধতি অনুসৰি আমি পাওঁ

n=5897: 5+8+8+7=29, 2+9=11, 1+1=2 ইত্যাদি।

এতিয়া যদি এই ফলাফলটো অকণমান উন্নীতকৰণ কৰা হয় তেন্তে এটা সম্পূৰ্ণ বেলেগ ধৰণৰ ফলাফল দেখা পোৱা যায়। অৰ্থাৎ আপুনি যদি যিকোনো এটা সংখ্যা বাছি লয় আৰু সংখ্যাটোৰ অংককেইটাৰ বৰ্গৰ যোগফল লয় আৰু তাৰ ফলাফলত পোৱা সংখ্যাটোৰ অংককেইটাৰ বৰ্গৰ যোগফল লোৱা পদ্ধতিটো পুনৰাবৃত্তি কৰি থাকে তেন্তে অৱশেষত আপুনি 1 অথবা 89 সংখ্যাটোত উপনীত হ’ব।

উদাহৰণ-1

ধৰাহ’ল সংখ্যাটো 5 অৰ্থাৎ n=5

গতিকে $$5=05$$, $$0^{2}+5^{2}=25$$; $$2^{2}+5^{2}=29$$; $$2^{2}+9^{2}=85$$; $$8^{2}+5^{2}=89$$; $$8^{2}+9^{2}=145$$; $$1^{2}+4^{2}+5^{2}=42$$; $$4^{2}+2^{2}=20$$; $$2^{2}+0^{2}=4$$; $$0^{2}+4^{2}=16$$; $$1^{2}+6^{2}=37$$; $$3^{2}+7^{2}=58$$; $$5^{2}+8^{2}=89$$; $$8^{2}+9^{2}=145$$; $$1^{2}+4^{2}+5^{2}=42$$; $$4^{2}+2^{2}=20dots$$

উদাহৰণটো ইমান বিস্তৃত ভাবে এই কাৰণেই দেখুওৱা হৈছে যে ইয়াৰ অন্তৰালত সংখ্যা পদ্ধতিটোৰ এটা বিস্ময়কৰ সৌন্দৰ্য্য অন্তৰ্নিহিত হৈ আছে। উদাহৰণটোত মন কৰিব যে আমি যদি এবাৰ 89 সংখ্যাটো পাও তেন্তে আমি লগে লগে বৰ্তনীটোত সোমাই পৰিলো, কিয়নো পদ্ধতিটো পুনৰাবৃত্তি কৰি থকাৰ লগে লগে 89 সংখ্যাটোৰ আমি পুনৰ পাই থাকিম। এই পৰিঘটনাটো বৰ্তনীত প্ৰ্ৰকাশ কৰিলে এনে ধৰণৰ হ’ব:

[ 5,25,29,85.89,145,42,20,4,16,37,58,(,89)]

অৰ্থাৎ

উদাহৰণ-2

n=3

$$3^{2}=9$$, $$9^{2}=81$$, $$8^{2}+1^{2}=65$$, $$6^{2}+5^{2}=61$$, $$6^{2}+1^{2}=37$$, $$3^{2}+7^{2}=58$$, $$5^{2}+8^{2}=89$$, $$8^{2}+9^{2}=145$$, $$1^{2}+4^{2}+5^{2}=42$$, $$4^{2}+2^{2}=20$$; $$2^{2}+0^{2}=4$$; $$0^{2}+4^{2}=16$$; $$1^{2}+6^{2}=37$$; $$3^{2}+7^{2}=58$$; $$5^{2}+8^{2}=89dots$$

এইক্ষেত্ৰত আমি 37  সংখ্যাটো পোৱাৰ লগে লগেই বৰ্তনীটোত সোমাই পৰিলো। বৰ্তনীটো হ’ব [3,9,81,65,61,37,58,89,145,42,20,4,16,37,58,(,89)] [চিত্ৰ-2 চওক]

উদাহৰণ-3

n=86,

$$8^{2}+6^{2}=100$$, $$1^{2}+0^{2}+0^{2}=1$$, $$0^{2}+1^{2}=1$$, $$0^{2}+1^{2}=1dots$$

মন কৰিবলগীয়া কথা যে আমি যদি এবাৰ 1 সংখ্যাটোত উপনীত হও তেন্তে তাৰ পিছত পদ্ধতিটো পুনৰাবৃত্তি কৰি থাকিলেও আমি 1 সংখ্যাটোতেই উপনীত হ’ম। এইক্ষেত্ৰত অকল 1 সংখ্যাটোৰেই বৰ্তনীটো গঠন হ’ব আৰু বৰ্তনীটো  হ’ব [1,(,1)] [চিত্ৰ-3 চওক]

এনেদৰে আমি সকলো সংখ্যাৰ কাৰণেই ওপৰৰ পদ্ধতিটো অনুসৰণ কৰিব পাৰোঁ।

n=2,3,4,5,6,8,9,11,12,14,…,18,20,21,22,24,…27,29,30,33,…43,45,… আদি সংখ্যাবোৰৰ কাৰণে পদ্ধতিটো অনুসৰণ কৰিলে আমি [89,145,42,20,4,16,37,58] বৰ্তনীটো পাও। এই অনুক্ৰমবোৰ তলত দেখুওৱা ধৰণে অংকণ কৰিব পাৰি-

n=1,7,10,13,19,23,28,31,32,44,49,68,70,79,82,86,91,94,97,100 আদি সংখ্যাবোৰৰ কৰণে উক্ত পদ্ধতিটো অনুসৰণ কৰিলে আমি [1,(,1)] বৰ্তনীটো পাম। চিত্ৰ-5 ত এই সংখ্যাবোৰৰ অনুক্ৰমবোৰ অংকণ কৰি দেখুওৱা হ’ল।

এনেধৰণে সংখ্যা এটাৰ অংককেইটাত আন যিকোনো ঘাট(power) দি তাৰ যোগফল লৈ আমি সংখ্যা বৰ্তনীৰ অনুসন্ধান বঢ়াই গৈ থাকিব পাৰো। ই আমাক বেলেগ বেলেগ ধৰণৰ আমোদজনক ফলাফল দেখুৱাই থাকিব। কথাখিনি পৰিষ্কাৰ হ’বলৈ এইখিনিতে কেইটামান উদাহৰণ দাঙি ধৰা হ’ল। ধৰক, সংখ্যাটো 352

তাৰ অংক কেইটাৰ ঘনফলৰ যোগফল ল’লে আমি পাম-

$$3^{3}+5^{3}+2^{3}=27+125+8=160$$

পদ্ধতিটো পুনৰাবৃত্তি কৰিলে পাওঁ

$$1^{3}+6^{3}+0^{3}=217$$

আকৌ এবাৰ কৰিলে

$$2^{3}+1^{3}+7^{3}=8+1+342=352$$

আচৰিত নহয়নে বাৰু? আমি যিটো সংখ্যা ধৰি লৈছিলো ওপৰত উল্লেখিত পদ্ধতিটো অনুসৰণ কৰাৰ পাছত আকৌ সেই সংখ্যাটোৱেই পালো। অৰ্থাৎ ইয়ে এটা বৰ্তনী গঠন কৰিলে।

এনেধৰণৰ বৰ্তনী গঠন কৰা কেইটামান সংখ্যা হ’ল 1,55,217,371,919,407,1459  ইত্যাদি, ইয়াৰ বাবে মাথোঁ পদ্ধতিটো পৰ্যাপ্ত পৰিমাণে পুনৰাবৃত্তি কৰিলেই হ’ল।

এইখিনিতে আন এটা উদাহৰণলৈ মন কৰক-

ইয়াত সংখ্যাটো হ’ল 1138

সংখ্যাটোৰ অংককেইটাৰ চতুৰ্থ ঘাট লৈ যদি আমি তাৰ যোগফল লওঁ আৰু পদ্ধতিটো কেইবাৰমান পুনৰাবৃত্তি কৰো তেন্তে এটা সময়ত আমি আকৌ 1138 সংখ্যাটোতেই উপনীত হওঁ।

1138->  $$1^{4}+1^{4}+3^{4}+8^{4}=4179$$

4179->  $$4^{4}+1^{4}+7^{4}+9^{4}=9219$$

9219->  $$9^{4}+2^{4}+1^{4}+9^{4}=13139$$

13139->  $$1^{4}+3^{4}+1^{4}+3^{4}+9^{4}=6725$$

6725->  $$6^{4}+7^{4}+2^{4}+5^{4}=4338$$

4338->  $$4^{4}+3^{4}+3^{4}+8^{4}=4514$$

4514->  $$4^{4}+5^{4}+1^{4}+4^{4}=1138$$

আকৌ এটা সংখ্যা উদাহৰণ হিচাপে আপোনাক যোগান ধৰিব পাৰো। সংখ্যাটো হ’ল 241, যাৰ অংককেইটাৰ চতুৰ্থ ঘাট লৈ তাৰ পিছত সিহঁতৰ যোগফল ল’লে আপুনি ওপৰৰ উদাহৰণটিৰ দৰে এটা বৰ্তনী পাব। বৰ্তনীটো হ’ব-

[241,273,2498,10929,13139,6725,4338,4514,1138,4179,9219,(,13139)]

ইয়াৰ দ্বাৰা ক’ব পাৰি যে আপুনি যদি যিকোনো এটা সংখ্যা বাছি লয় আৰু সংখ্যাটোৰ অংককেইটাৰ আন আন যিকোনো ঘাট লৈ সিহঁতৰ যোগফল লয় তেন্তে আপোনাৰ নিৰ্বাচিত সংখ্যাটিয়ে এটা বৰ্তনী গঠন কৰিব।

আন এটা বিখ্যাত বৰ্তনী

এইটোও এটা বিষ্ময়কৰ বৰ্তনী। তলৰ নিয়মখিনি অনুসৰণ কৰক-

1) চাৰি অংকবিশিষ্ট সংখ্যা এটা বাছি লওক (যিবোৰ সংখ্যাৰ চাৰিওটা অংক একে সেইবোৰৰ বাহিৰে) ।

2) সংখ্যাটোৰ অংককেইটা এনেধৰণে পুনৰ্বিন্যস্ত (Rearrange) কৰক যাতে সিহঁতে সাম্ভাব্য আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটো গঠন কৰে (অৰ্থাৎ, সংখ্যাটোৰ অংককেইটা অধোক্ৰমত লিখক) ।

3) তাৰপাছত সংখ্যাটোৰ অংককেইটা এনেধৰণে পুনৰ্বিন্যস্ত কৰক যাতে সিহঁতে সাম্ভাব্য আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো গঠন কৰে (শূণ্যক প্ৰথম স্থানত লিখিব পাৰে) ।

4) ডাঙৰ সংখ্যটোৰ পৰা সৰু সংখ্যাটো বিয়োগ কৰক।

5) এই পাৰ্থক্য বা ফলাফলটো লওক আৰু ওপৰৰ পদ্ধতিটো পুনৰাবৃত্তি কৰি থাকক যেতিয়ালৈকে আপুনি একো অসুবিধা লক্ষ্য নকৰে।

আপুনি যিটো সংখ্যা বাছি লৈ পদ্ধতিটো আৰম্ভ কৰিছিল তাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰি এবাৰ বা তাতোকৈ অধিকবাৰ বিয়োগ কৰি অৱশেষত 6174 সংখ্যটোত উপনীত হ’ব। ইয়াৰ পাছত আপুনি এটা অন্তহীন বৰ্তনী (endless loop) পাব।

উপৰিউক্ত পদ্ধতিটোৰ সত্যাসত্য নিৰূপন কৰিবলৈ উদাহৰণ এটি দাঙি ধৰা হ’ল।

ধৰক, 3203 । এতিয়া পদ্ধতিটো অনুসৰণ কৰি সংখ্যটোৰ অংককেইটা অধোক্ৰমত সজালে আমি পাওঁ 3320 ।

আকৌ ঊৰ্ধ্বক্ৰমত সজালে পাওঁ 0233 ।

ইহঁতৰ পাৰ্থক্যটো হ’ব 3087 ।

পদ্ধতিটো পুনৰাবৃত্তি কৰিলে আমি পাওঁ

অধোক্ৰমত সজালে 8730

ঊৰ্ধ্বক্ৰমত সজালে 0378

পাৰ্থক্যটো হ’ব 8352

আকৌ এবাৰ পুনৰাবৃত্তি কৰিলে আমি পাওঁ

অধোক্ৰমত সজালে 8532

ঊৰ্ধ্বক্ৰমত সজালে 2358

পাৰ্থক্যটো হ’ব 6174

আকৌ অধোক্ৰমত সজালে 7641

ঊৰ্ধ্বক্ৰমত সজালে 1467

পাৰ্থক্যটো হ’ব 6174

অৰ্থাৎ, 6174 পোৱাৰ পাছত পদ্ধতিটো যিমানেই পুনৰাবৃত্তি নকৰিলেও আপুনি সদায় 6174 সংখ্যাটোতেই উপনীত হ’ব।

এই বিখ্যাত বৰ্তনীটো পোনপ্ৰথমবাৰৰ বাবে আৱিষ্কাৰ কৰিছিল 1946 চনত ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ Dattathreya Ramachandra Kaprekar এ । Kaprekar এ 1949 চনত অনুষ্ঠিত ‘Madras Mathematical Conference’ত এই বৰ্তনীটোৰ কথা ঘোষণা কৰিছিল।

 

Ulam-Collatz loop

এইটো এনে এটা বৰ্তনী যিয়ে গণিতজ্ঞসকলক বছৰ বছৰ ধৰি বিভ্ৰান্তিত পেলাই আহিছে আৰু এই পৰিঘটনাটোনো কিয় ঘটে সেইটো আজিলৈকে কোনেও ঠাৱৰ কৰিব পৰা নাই। আহকচোন, এই বিভ্ৰান্তিকৰ বৰ্তনীটোৰ বিষয়ে আমিও অকণমান জ্ঞান আহৰণ কৰোঁ।

আপুনি যিকোনো সংখ্যা এটা বাছি লওক আৰু তলৰ নিয়ম দুটা অনুসৰণ কৰক-

1) যদি সংখ্যাটো অযুগ্ম হয় তেন্তে তাক 3 ৰে পূৰণ কৰি 1 যোগ কৰক।

2) যদি সংখ্যাটো যুগ্ম হয় তেন্তে তাক 2 ৰে হৰণ কৰক।

আপুনি সংখ্যাটো যিয়েই নিৰ্বাচন নকৰক কিয়, পদ্ধতিটো অনুসৰণ কৰি পুনৰাবৃত্তি কৰি গৈ থাকিলে সদায় অন্তিম অৱস্থাত 1 সংখ্যাটোত উপনীত হ’ব।

কথাখিনি পৰিষ্কাৰ হ’বলৈ এটা উদাহৰণ দাঙি ধৰা হ’ল। ধৰাহ’ল সংখ্যাটো 7 । এতিয়া পদ্ধতি অনুসৰি, যিহেতু 7 সংখ্যাটো অযুগ্ম গতিকে আমি ইয়াক 3 ৰে পূৰণ কৰি 1 যোগ কৰি পাওঁ 22 । আকৌ যিহেতু 22 সংখ্যাটো যুগ্ম, গতিকে ইয়াক 2 ৰে হৰণ কৰি পাওঁ 11 । এইদৰে পদ্ধতিটো পূণৰাবৃত্তি কৰি থাকিলে আমি পাওঁ-

11 অযুগ্ম, গতিকে $$11times3+1=34$$

34 যুগ্ম, গতিকে $$34/2=17$$

17 অযুগ্ম, গতিকে $$17times3+1=52$$

52 যুগ্ম, গতিকে $$52/2=26$$

26 যুগ্ম, গতিকে $$26/2=13$$

13 অযুগ্ম, গতিকে $$13times3+1=40$$

40 যুগ্ম, গতিকে $$40/2=20$$

20 যুগ্ম, গতিকে $$20/2=10$$

10 যুগ্ম, গতিকে $$10/2=5$$

5 অযুগ্ম, গতিকে $$5times3+1=16$$

16 যুগ্ম, গতিকে $$16/2=8$$

8 যুগ্ম, গতিকে $$8/2=4$$

4 যুগ্ম, গতিকে $$4/2=2$$

2 যুগ্ম, গতিকে $$2/2=1$$

আকৌ, 1 অযুগ্ম, গতিকে $$1times3+1=4$$

4 যুগ্ম, গতিকে $$4/2=2$$

2 যুগ্ম, গতিকে $$2/2=1dots$$

গতিকে, আমি পোৱা অনুক্ৰম (Sequence) টো হ’ল- 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ….

তলৰ প্ৰণালীটোৱে অনুক্ৰমটোৰ পথটো সূচায়-

তলৰ চিত্ৰটোৱে 1 ৰ পৰা 20 লৈ সংখ্যাকেইটাক আৰম্ভণি সংখ্যা হিছাপে লৈ পোৱা অনুক্ৰমবোৰ দেখুৱাইছে।

1089 বৰ্তনী

তলৰ নিয়মাৱলীখিনি অনুসৰণ কৰক। নিয়মকেইটাৰ লগত উদাহৰণ এটিও আগবঢ়োৱা হৈছে।

1) তিনিটা অংক বিশিষ্ট এনে এটা সংখ্যা বাছি লওক যিটোৰ একক আৰু শতকৰ ঘৰৰ অংককেইটা একে নহয়। উদাহণস্বৰূপে, ধৰাহ’ল সংখ্যাটো 825 (121 বা 474 ধৰণৰ সংখ্যাবোৰ ভুল) ।

2) আপুনি বাছনি কৰা সংখ্যাটোৰ অংককেইটা ওলোটাই দিয়ক। অৰ্থাৎ, অংককেইটা ওলোটাই দিলে আমাৰ সংখ্যাটো হ’ব 528 ।

3) ডাঙৰ সংখ্যাটোৰ পৰা সৰু সংখ্যাটো বিয়োগ কৰক। বিয়োগ কৰিলে আমি পাম 825-528=297 ।

4) বিয়োগ কৰি পোৱা সংখ্যাটোৰ অংককেইটা আকৌ এবাৰ ওলোটাই দিয়ক। ওলোটাই দিয়াত আমি পালো 792 ।

5) এতিয়া অন্তিম সংখ্যা দুটা যোগ কৰক। অন্তিম সংখ্যা দুটা যোগ কৰিলে আমি পাম 297+792=1089 ।

এই বৰ্তনীটোত অন্তৰ্নিহিত হৈ থকা সংখ্যাপদ্ধতিটোৰ বিষ্ময়কৰ সৌন্দৰ্যটো হ’ল এয়ে যে পদ্ধতিটো অনুসৰণ কৰিলে আপুনি ফলাফলটো সদায় 1089 পাব।(যদি পোৱা নাই তেন্তে নিশ্চয় আপোনাৰ গণনা কাৰ্য্যত কিবা ভুল হৈছে, পুনৰ পৰীক্ষা কৰক।)

ওপৰৰ নিয়মাৱলীখিনি আমি চাৰিটা অংকবিশিষ্ট সংখ্যাবোৰৰ (যিবোৰৰ একক আৰু হাজাৰৰ ঘৰৰ অংককেইটা একে নহয় সেইবোৰৰ) কাৰণেও ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰোঁ। উদাহৰণস্বৰূপে,

ধৰাহ’ল, সংখ্যাটো 8029 । ইয়াক ওলোটাই দিলে আমি পাওঁ 9208 । ডাঙৰ সংখ্যাটোৰ পৰা সৰু সংখ্যাটো বিয়োগ কৰিলে পাৰ্থক্যটো পাওঁ 9208-8029=1179 । এই সংখ্যাটোৰ অংককেইটা ওলোটাই দিলে আমি পাওঁ 9711 । অন্তিম সংখ্যা দুটা যোগ কৰিলে আমি পাওঁ 10890 । কিন্তু চাৰিটা অংকবিশিষ্ট সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত ফলাফলটো সদায় 10890 পোৱা নাযাবও পাৰে।

আকৌ যদি দুটা অংকবিশিষ্ট সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত উক্ত নিয়মাৱলী খটুৱাওঁ তেন্তে আমি ফলাফলটো সদায় 99 পাম যদিহে সংখ্যাটোৰ অংককেইটা বেলেগ বেলেগ হয়।

99 বৰ্তনী

তলৰ নিয়মাৱলীখিনি অনুসৰণ কৰক।

1) তিনিটা অংক বিশিষ্ট এনে এটা সংখ্যা বাছি লওক যিটোৰ একক আৰু শতকৰ ঘৰৰ অংককেইটা একে নহয়। উদাহণস্বৰূপে, 347 সংখ্যাটো লোৱা হ’ল।

2) আপুনি বাছনি কৰা সংখ্যাটোৰ অংককেইটা ওলোটাই দিয়ক। অৰ্থাৎ, অংককেইটা ওলোটাই দিলে আমাৰ সংখ্যাটো হ’ব 743 ।

3) ডাঙৰ সংখ্যাটোৰ পৰা সৰু সংখ্যাটো বিয়োগ কৰক। বিয়োগ কৰিলে আমি পাম 396 ।

4) বিয়োগ কৰি পোৱা সংখ্যাটোৰ অংককেইটা আকৌ এবাৰ ওলোটাই দিয়ক। ওলোটাই দিয়াত আমি পালো 693 ।

5) এইদৰে ওলোটাই দিয়া আৰু বিয়োগ কৰা প্ৰক্ৰিয়াটো পুনৰাবৃত্তি কৰি গৈ থাকক।

অৰ্থাৎ, আমি পাম-

693-396=297

792-297=495

594-495=099

990-099=891

891-198=693

693-396=297….

এইদৰে পুনৰাবৃত্তি কৰি থকাৰ লগে লগে 693, 297, 495, 99, 891 সংখ্যকেইটা পুনৰ পাই থাকিম। অৰ্থাৎ, এটা বৰ্তনীৰ সৃষ্টি হ’ব। বৰ্তনীৰ হ’ব- [693, 297, 495, 99, 891] ।

তলৰ চিত্ৰত [99, 891, 693, 297, 495, (,99)] বৰ্তনীটোৰ সৈতে n=1, 2, 3, ….., 25 সংখ্যাবোৰৰ কাৰণে অনুক্ৰমবোৰৰ অংকণ দিয়া হ’ল-

এনেদৰে আন যিকোনো সংখ্যা বাছি লৈ ওপৰত উল্লখ কৰা নিয়মাৱলীবোৰ অনুসৰণ কৰি গ’লে কেনেধৰণৰ আমোদজনক ফলাফল দেখা যায় আপুনি পৰীক্ষা কৰি চাব পাৰে।

কঠোৰ অধ্যৱসায় আৰু পৰিষ্কাৰ পৰিকল্পনাৰ দ্বাৰা গণিতত এনেধৰণৰ কিছুমান মহা মূল্যবান সংখ্যা আৰ্হি(Number pattern) আৱিষ্কাৰ হয়।

প্ৰবন্ধটোত আমাৰ সংখ্যা পদ্ধতিটোৰ চাৰিত্ৰিক বৈশিষ্টৰ কিছুমান বিষ্ময়কৰ শৃংখলাৰ সম্পৰ্কে আগবঢ়োৱা হ’ল যিয়ে আপোনাক(বা সকলোকে) আন নতুন কিবা এটাৰ সন্ধান কৰিবৰ বাবে উদগনি যোগাব পাৰে।

প্ৰসংগ গ্ৰন্থ- The mathematical Amazements and Surprises (লেখক- Alfred S. Posamentier আৰু Ingmar Lehmann.

————————————–

ৰূপম হালৈ, পঞ্চম ষাণ্মাসিক,

সংযুক্ত স্নাতকোত্তৰ, তেজপুৰ বিশ্ববিদ্যালয়।

————————————–

[ad#ad-2]

Managing Editor of the English Section, Gonit Sora and Research Fellow, Faculty of Mathematics, University of Vienna.

No Comments

Leave a Reply

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.