“How grateful we should be to the Hindus who discovered the decimal system that did not occur to the minds of such mighty mathematicians as Archimedes and Apollonius.” —Pierre Simon de Laplace.
ভাৰতীয় বৈজ্ঞানিক পৰম্পৰাত গণিতশাস্ত্ৰ আৰু জ্যোতিৰ্বিজ্ঞানৰ অভ্যুত্থান সম্ভৱতঃ সবাতোকৈ গৌৰৱোজ্জ্বল অধ্যায়। ভাৰতীয় সভ্যতা-সংস্কৃতি যিমান পুৰণি, গণিত আৰু জ্যোতিৰ্বিজ্ঞান চৰ্চাৰ ইতিহাসো সিমানেই পুৰণি বুলি ভবা হয়। প্ৰাচীন ভাৰতীয় পণ্ডিতসকলে গণিতশাস্ত্ৰত বহুতো মূল্যবান, মৌলিক কথা আবিষ্কাৰ কৰি জাতিটোক মহীয়ান কৰি থৈ গৈছে। সিন্ধু উপত্যকাৰ খননকাৰ্য অধ্যয়ন কৰি সেই সভ্যতা খৃষ্টপূৰ্ব ৩২৫০ৰ পৰা খৃষ্টপূৰ্ব ২৭৫০ৰ ভিতৰত বুলি ঠাৱৰ কৰা হৈছে। মহেঞ্জোদাৰো আৰু হৰপ্পাত যিবোৰ নলা-নৰ্দমা, আ-অট্ৰালিকা আৰু অন্যান্য নিৰ্মাণৰ ভগ্নাৱশেষ আবিষ্কাৰ হৈছে, সেইবোৰ উচ্চ মানবিশিষ্ট গণিত আৰু কাৰিকৰী বিজ্ঞান অবিহনে সম্ভৱ নহয় বুলি বিশেষজ্ঞসকলে মন্তব্য কৰিছে। scaleমহেঞ্জোদাৰো আৰু হৰপ্পাত কিছুমান মোহৰ আৰু বহুতো শিলৰ দগা উদ্ধাৰ হৈছে। এইবোৰে সাক্ষ্য দিয়ে যে, সিন্ধু সভ্যতাৰ লোকসকল হিচাপ-নিকাচ আৰু জোখ-মাখৰ ক্ষেত্ৰত পাৰদৰ্শী আছিল। তেওঁলোকে ব্যৱহাৰ কৰা দগাবোৰৰ প্ৰায়ভাগেই আজিৰ ২৭.২ গ্ৰামৰ ভগ্নাংশ অথবা গুণিতক আছিল। মহেঞ্জোদাৰোত ৬.৬২ ছেন্টিমিটাৰ দীঘল আৰু ০.৬২ ছেন্টিমিটাৰ বহল জোখৰ স্কেল এডালৰ ভগা অংশ এটা পোৱা গৈছে। স্কেলডালত নটা সমান্তৰাল দাগ সমান-সমান ব্যৱধানত কটা আছে। এপিনৰ এটা দাগৰ ওপৰত এটা বিন্দু বা ডট(.) আৰু তাৰপৰা ১.৩২ ইঞ্চি আঁতৰত থকা আন এটা দাগৰ ওপৰত এটা সৰু বৃত্ত অংকিত কৰা আছে। সম্ভৱতঃ এই দুটা বিশেষ সংকেতৰ মাজৰ ব্যৱধানেই আছিল তাহানিকালত দীঘল কোনো এটা একক। সিন্ধু উপত্যকাৰ লোকসকলে সংখ্যা বুজাবলৈ উল্লম্ব, সমান্তৰাল ৰেখাখণ্ড কিছুমান ব্যৱহাৰ কৰিছিল— আজিৰ ৰোমান লিপিত এক, দুই, তিনি যেনেদৰে I, II আৰু IIIৰে বুজায়, তেনেদৰে। অৱশ্যে ৰোমান সংখ্যাবোৰৰ সৈতে সিন্ধু উপত্যকাৰ সংখ্যাবোৰৰ বিশেষ মিল নাছিল। আকৌ, ডাঙৰ-ডাঙৰ সংখ্যাবোৰনো কেনেদৰে বুজোৱা হৈছিল সেই বিষয়ে উপযুক্ত সাক্ষ্য বিচাৰি পাবলৈ নাই। সিন্ধু সভ্যতাৰ তুলনাত বৈদিক যুগৰ হিন্দুসকলৰ অৱদান বহু বেছি। বৈদিক হিন্দুসকলে বৈজ্ঞানিক ভিত্তিত সংখ্যা পদ্ধতি(number system) গঢ়ি তুলিছিল। আজি ১ৰপৰা ৯লৈকে যিবোৰ অংক বুজোৱা সংকেত সমগ্ৰ বিশ্বই ব্যৱহাৰ কৰে সেইবোৰ প্ৰাচীন ভাৰতৰ অৱদান। কেৱল ১ৰপৰা ৯লৈকেই নহয়, ০ (শূন্য)টোও বৈদিক হিন্দুসকলেই পোনতে সৃষ্টি কৰিছিল। তদুপৰি তেওঁলোকেই দশমিক স্থানীয়মান সংকেতো আবিষ্কাৰ কৰিছিল। আমি যে একক, দহক, শতক, হাজাৰ আদি স্থানীয়মানৰ সৈতে দহৰ গুণিতক বা ভগ্নাংশ হিচাপে থাকে। সেয়াই দশমিক স্থানীয়মান সংকেত। এই প্ৰসংগত ইতিহাসবিদ এলফিনষ্ট’নে কোৱা কথা এষাৰ তাৎপৰ্যপূৰ্ণ,— “পাটীগণিতত সৰ্ববাদীসন্মত দহ ধৰি গণনা কৰা পদ্ধতি আবিষ্কাৰৰ বাবে হিন্দুসকল সুপ্ৰসিদ্ধ। হয়তো এই কাৰণেই গ্ৰীকসকলৰ তুলনাত হিন্দুসকলে গণিতত ইমান বেছি উন্নতি কৰিব পাৰিছিল। আৰবে তেওঁলোকৰপৰাই গণনা পদ্ধতি শিকিছিল।”

MA পাতনিঃ এই অধ্যায়টোত ৰামানুজনৰ জীৱিত বন্ধুকেইজনমান (সেই সময়ৰ) আৰু মিচেছ ৰামানুজনৰ স্মৃতিচাৰণ সামৰা হৈছে| এইসকল পাঁচটা দলত আছে স্কুল-বন্ধু, কলেজ-বন্ধু, কেম্ব্ৰিজৰ বন্ধু আৰু তেওঁৰ ঘৈণী| প্ৰতিটো স্মৃতিচাৰণ আৰম্ভ হৈছে নামেৰে আৰু লগতে সংযুক্ত ব্যক্তিজনৰ কিছু সবিশেষেৰে|   এম.বি / এম.চি.ৰ স্কুল-বন্ধু   MB মি. এন.ৰঘুনাথনৰ স্মৃতিচাৰণ ৰামানুজনৰ স্কুল-বন্ধু আৰু অৱসৰপ্ৰাপ্ত...

সৰলতৰ সমস্যা কেতবোৰ গণিতত অতি আমোদজনকভাৱে আত্মগমনকাৰী। পাটীগণিতৰ সমস্যা কেতবোৰ খুব সম্ভৱ সকলোতকৈ সৰলতৰ আৰু তুলনামূলকভাৱে স্বাভাৱিক। পাটীগণিতৰ নাম ল’লেই ইয়াৰ লগত এৰাব নোৱাৰাকৈ জড়িত স্বাভাৱিক সংখ্যাসমূহ, যেনে, 1, 2, 3, 4,... এইবোৰ আহি পৰে আৰু ইয়াৰ লগে লগেই 2+3=5, 4+3=7, ইত্যাদিৰ ধাৰণাও আহি যায়। পিছে স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ যোগ প্ৰক্ৰিয়াই সংখ্যাবোৰৰ ভিতৰত থকা বিশেষ ৰহস্য উদঘাটন নকৰে। গণিতজ্ঞৰ মন আকৰ্ষণ কৰিব পৰা বহুতো আমোদজনক তথা আত্মমগনকাৰী বৈশিষ্ট্য সোমাই আছে স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ পূৰণ প্ৰক্ৰিয়াৰ মাজতহে (অৱশ্যে পূৰণ প্ৰক্ৰিয়াটো যোগ প্ৰক্ৰিয়াৰেই এক সংক্ষিপ্ত ৰূপ। তথাপিও পূৰণ প্ৰক্ৰিয়াটোৰ নিজস্ব বৈশিষ্ট্যৰে ই অতি ‘ভাৱ গধুৰ’ কথা কয়।) উদাহৰণস্বৰূপে, তেনে এটা অতি সৰল আৰু স্বাভাৱিক সংখ্যা হ'ল মৌলিক সংখ্যা। মৌলিক সংখ্যা হ’ল সেই বোৰ স্বাভাৱিক সংখ্যা, যিবোৰক দুই বা তাতোধিক সৰু স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ পূৰণফল হিচাবে প্ৰকাশ কৰিব নোৱাৰি। মৌলিক সংখ্যাৰ সংজ্ঞা দিয়াৰ পাছত স্বাভাৱিকতেই মনলৈ অহা প্ৰশ্নকেইটা হ’ল— মৌলিক সংখ্যা কেইটা? অথবা এনে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা আছেনে যে ইয়াতকৈ ডাঙৰ যি কোনো স্বাভাৱিক সংখ্যাক, এই মৌলিক সংখ্যাটি আৰু ইয়াতকৈ সৰু কোনো মৌলিক সংখ্যাৰ পূৰণ হিচাপে লিখিব পাৰি? ইউক্লিদেই পোনতে এই প্ৰশ্নটিৰ উত্তৰ দিয়ে— এটা অতি সুন্দৰ প্ৰমাণৰদ্বাৰা। ইয়াত তেওঁ দেখুৱায় যে “মৌলিক সংখ্যাৰ সংখ্যা (number) অসীমভাৱে বঢ়াই নিব পাৰি।” অৰ্থাৎ অন্য ভাষাত ‘বৃহত্তম মৌলিক’ বুলি কোনো সংখ্যা নাই। আমাৰ এই প্ৰবন্ধটিৰ আলোচনাৰ বাটত ইউক্লিদৰ প্ৰমাণটি পাম কাৰণে অলপ অপেক্ষাই কৰোঁ। এতিয়াৰ পৰা আমি (এই প্ৰবন্ধটিত) মৌলিক সংখ্যাক অকল ‘মৌলিক’ বুলিয়েই ক’ম। মৌলিকৰ সংখ্যা অসীম বুলি জনাৰ পিছত অন্য এটা স্বাভাৱিক প্ৰশ্ন উঠে যে— এটাও মৌলিক বাদ নোযোৱাকৈ তালিকাভুক্ত কৰিবপৰা এনে কোনো নিয়ম আছে নেকি? গ্ৰীক দাৰ্শনিক আৰু গণিতজ্ঞ ইৰাটস্থেনিচে এই ক্ষেত্ৰত এটা উপায় দিয়ে। তেওঁৰ এই পদ্ধতিক ‘চালনীৰে বাছনি’ (sieve) বুলিব পাৰি। এই পদ্ধতিত পোনতে 1, 2, 3, 4,... ইত্যাদি সংখ্যাবোৰ লিখি লোৱা হয়। তাৰ পিছত, প্ৰথমে 2ৰ গুণিতকবোৰ (multiple) কাটি যোৱা হওক (যেনিবা চালনীৰে সৰি পৰিল!)। ইয়াৰ পিছত 3ৰ গুণিতকবোৰ কটা হওক, তেনেদৰে 5 ইত্যাদি। তলৰ তালিকাখনত এশটা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰপৰা মুঠতে 25টা মৌলিক বাছনিত উঠিল—

গণিতত কল্পনা! সঁচাকৈয়ে যুক্তিৰ বাহিৰত যেনেই লাগে। পিছে গাণিতিক যুক্তিৰ নিছিগা হাৰডালিত গণিতৰ নানা হীৰা মৰকত গাঁথি যাঁওতে গণিতজ্ঞসকলে যিধৰণৰ সমস্যাৰ সমুখীন হ’ব লগা হয় সেই সকলোবোৰেই গণিতৰ অগ্ৰগতিৰ ইতিহাসত নিজে নিজে সোমাই পৰে আৰু কিছুদূৰ আগবাঢ়ি আহি পিছলৈ উভটি চালে কোনো কোনো গাণিতিক সংঘটন অতি আচৰিত যেন লাগে। ঠিক এনে ধৰণৰ গাণিতিক সংঘটন এটাৰ বিষয়ে আলোচনা কৰিব খুজিছো আমাৰ এই প্ৰবন্ধটিত। সেয়া হ’ল বৰ্তমান গণিতৰ এৰাব নোৱাৰা অংশ— জটিল সংখ্যা, যাৰ স’তে $$i=sqrt{-1}$$ ওতঃপ্ৰোতভাৱে জড়িত। এই $$i=sqrt{-1}$$ সংখ্যাটিক নাম দিয়া হৈছিল “কাল্পনিক সংখ্যা”। এই “অসম্ভৱ” বা কাল্পনিক সংখ্যাৰ উৎপত্তি, ইয়াৰ ক্ৰমবিকাশ তথা প্ৰয়োগ ইত্যাদি সম্পৰ্কে আলোচনা কৰাই প্ৰবন্ধটিৰ উদ্দেশ্য। সোতৰ শতিকা পৰ্যন্ত ঋণ সংখ্যাবোৰো এক ধৰণৰ গোলমলীয়া সংখ্যায়েই আছিল| ষোল শতিকাৰ মাজভাগত এণ্টইন আৰ্ণল্ডে (Antoine Arnauld) $$frac{-1}{1}=frac{1}{-1}$$ এনে ধৰণৰ সমতাত আশ্চৰ্য প্ৰকাশ কৰিছিল| এই আশ্চৰ্যকৰ যুক্তিটো আছিল এনে ধৰণৰ যে— সৰু সংখ্যা এটা আৰু ডাঙৰ সংখ্যা এটাৰ অনুপাত জানো ডাঙৰ সংখ্যাটো আৰু সৰু সংখ্যাটোৰ অনুপাতৰ সমান হ’ব পাৰে? সেয়ে ওপৰৰ ধৰণৰ সমতা তেওঁৰ চিন্তাৰে (যুক্তিৰে) এক ধৰণৰ বুৰ্বকামী (nonsense) আছিল| 1712 চনত কলন গণিতৰ অন্যতম পিতৃস্বৰূপ লাইবনিজে (Leibnitz) কৈছিল যে, এই সন্দৰ্ভত ‘Arnauld had a point’, থমাচ্‌ হেৰিঅত্‌ (Thomas Harriot. 1560-1621) ঋণ সংখ্যাক লৈ হোৱা গাণিতিক সমস্যাৰ স’তে জড়িত আছিল| অৱশ্যে তাৰো বহুত আগতে 628 খীষ্টাব্দত ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ ব্ৰক্ষ্মগুপ্তই কৃতকাৰ্যতাৰে ঋণ সংখ্যাৰ খেল খেলাৰ উদাহৰণ আছে| পিছে ৰাফেল বম্বেলিয়েহে (Raphel Bombelli) ঋণ সংখ্যাৰ স্পষ্ট সংজ্ঞা দিয়ে|

The standard form of a linear equation in $$n$$ unknowns $$x_1,x_2,\dots ,x_n$$ is $$a_1x_1+a_2x_2+\dots +a_nx_n=b,$$ where $$a_1,a_2,\dots ,a_n$$ and $$b$$ are constants. Here constants mean some real numbers (these constants may come from any number field). A collection of one or more linear equations of same variables is called...