## 14 JunFermat’s Last Theorem

[caption id="attachment_3363" align="alignleft" width="418"] Google Doodle depicting Fermat's Last Theorem[/caption] We can find infinitely many solutions that can solve the equations \$\$x+y=z\$\$ and \$\$x^2+y^2=z^2\$\$ in integers, but what about the equation \$\$x^3+y^3=z^3\$\$ or more generally \$\$x^n+y^n=z^n\$\$, where n is an integer greater than 2 and x,y,...

## 10 JunReinventing the Indian (Hindu) Calendar

Summary: Following the Indian (Hindu) calendar, we Indians are celebrating the seasonal festivals on wrong dates. It is because in the Indian calendars, the seasons are out of phase with the real tropical phenomenon of the earth. This article analyses how and why we are doing that and what to do about it. In the Indian calendars, the Makar Sankranti which marks the transition of the Sun into Makar Rasi (Capricorn), generally falls around 14th or 15th January of the Gregorian calendar. Makar Sankranti also marks many of the Indian harvest festivals such as the Pongal of the Tamils, the Bhogali Bihu of the Assamese, the Maghi (Lohri) of the Punabis, Bhogi in Andhra Pradesh etc. Many communities start their new years on this date. Astronomically, Makar Sankranti is the winter solstice. It is the shortest day marking the beginning of the Uttarayan (the northern journey) of the Sun with gradual increase of the duration of the day. The Bhagavad Gita mentions great importance of the Uttarayan. This was the reason why Bhishma, when wounded in Mahabharata war, chose to await for the Makar Sankranti, before choosing to die. In the Jagannath temple at Puri the Uttarayana Yatra is celebrated on this Makar Sankranti day.

## 07 Junসাঁথৰৰ উৎপত্তি আৰু ক্ৰমবিকাশ

সাঁথৰ বুলি ক’লেই বিশেষকৈ মনলৈ আহে, আওপকীয়াকৈ সামান্য ইঙ্গিতেৰে একোটা গুপ্ত কথা উলিয়াবলৈ দি কাৰোবাক বিপাঙত পেলাবলৈ কৰা এবিধ বুদ্ধি আৰু জ্ঞানৰ পৰীক্ষা। এই সাঁথৰ শব্দটোও সাঁথৰ বা সাঁতোৰ শব্দৰ পৰা উদ্ভৱ হোৱা বুলি অনুমান কৰিব পাৰি। নামনি অসমত ‘ত’ আখৰটো ‘থ’ উচ্চাৰণ হোৱা পৰিলক্ষিত হয়। গতিকে নামনি অসমতে সাঁথৰ শব্দটো উৎপত্তি হোৱা যেন অনুমান হয়। সাঁতৰ ৰূপান্তৰ হৈ সাঁথৰ হ’ল। পানীত পৰি সাঁতুৰি-নাদুৰি পাৰ ঢুকি পাবলৈ সমৰ্থ নোহোৱা মানুহে ককবকাই থাকি আশ্ৰয়ৰ কাৰণে হাবাথুৰি খোৱাৰ দৰে সাঁথৰৰ অৰ্থ উলিয়াবলৈও দৃশ্যমান জগতত হাবাথুৰি খাব লগা হয়। অসমীয়াত সাঁথৰৰ সমাৰ্থক শব্দ হেয়ালি, দিষ্টান, আদি ব্যৱহাৰ কৰা হয়। সংস্কৃতত ব্ৰহ্মোদ্য, প্ৰহেলিকা, কূট, সমস্যা আদি সাঁথৰৰ সমাৰ্থক শব্দ। বৈদিক ব্ৰহ্মোদ্য শব্দটোৱেই প্ৰাচীন। প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰৰ মাজতো সাঁথৰ নিহিত হৈ থাকে। “উত্তৰঃ- প্ৰত্যুত্তৰৈঃ পৰস্পৰং সংবাদঃ ব্ৰহ্মোদ্যম্।” (যজুৰ্বেদ) বেদ, উপনিষদ, মহাভাৰত আদিত এনে সাঁথৰস্বৰূপ প্ৰশ্ন আৰু উত্তৰ পোৱা যায়। মহাভাৰতৰ যক্ষৰূপী বকে পঞ্চ-পাশুৱক যিবোৰ প্ৰশ্ন কৰিছিল সকলোবোৰেই আছিল সমস্যাপূৰ্ণ। যেনে— “পৃথিৱীতকৈ গুৰুত্বৰ কি? আকাশতকৈ উচ্চতৰ কি? বায়ুতকৈও বেগী কি? আৰু তৃণতকৈও ব্যাপক কি?” যিকোনো লোকে সহজতে এনে প্ৰশ্নৰ উত্তৰ দিবলৈ অপাৰগ হ’ব। যুধিষ্ঠিৰৰ দৰে ধাৰ্মিক, চিন্তাশীল লোকেহে ইয়াৰ উত্তৰ দিব পাৰিছিল— “মাতৃ পৃথিৱীতকৈও গুৰুতৰ, পিতা আকাশতকৈও উচ্চতৰ; মন বায়ুতকৈও বেগী আৰু চিন্তা তৃণতকৈও ব্যাপক।” একেদৰেই যজুৰ্বেদত থকা এটি ব্ৰহ্মোদ্য— “কিং স্বিৎ সূৰ্যসমং জ্যোতিঃ কিং স্বিৎ সমুদ্ৰ সমংসৰঃ। কিং স্বিৎ পৃথিব্যৈ বৰ্ষীয়সঃ কস্য মাত্ৰা ন বিদ্যতে।।” (সূৰ্যৰ দৰে জ্যোতিষ্মান কি? সমুদ্ৰৰ দৰে বিস্তৃত কি? পৃথিৱীতকৈ বয়সে কোন ডাঙৰ? কাৰ পৰিমাণ নাই?) ইয়াৰ উত্তৰ হ’ল— “ব্ৰহ্ম সূৰ্যৰ দৰে জ্যোতিষ্মান, আকাশ সমুদ্ৰৰ দৰে বিস্তৃত, ইন্দ্ৰ পৃথিৱীতকৈ বয়সে ডাঙৰ, পৃথিৱী বা গাইৰ পৰিমাণ নাই।” এনেধৰণৰ অনেক ব্ৰহ্মোদ্য বেদ, উপনিষদ, মহাভাৰত আদিত পোৱা যায়। এই ব্ৰহ্মোদ্যবোৰত ধৰ্ম আৰু প্ৰকৃতি জ্ঞান, বাক্ কৌশল আৰু কবিত্ব শক্তিৰ প্ৰভাৱ আকৰ্ষণীয়।

## 29 Mayপ্ৰাচীন ভাৰতত গণিত চৰ্চাৰ চমু আভাস

“How grateful we should be to the Hindus who discovered the decimal system that did not occur to the minds of such mighty mathematicians as Archimedes and Apollonius.” —Pierre Simon de Laplace.
ভাৰতীয় বৈজ্ঞানিক পৰম্পৰাত গণিতশাস্ত্ৰ আৰু জ্যোতিৰ্বিজ্ঞানৰ অভ্যুত্থান সম্ভৱতঃ সবাতোকৈ গৌৰৱোজ্জ্বল অধ্যায়। ভাৰতীয় সভ্যতা-সংস্কৃতি যিমান পুৰণি, গণিত আৰু জ্যোতিৰ্বিজ্ঞান চৰ্চাৰ ইতিহাসো সিমানেই পুৰণি বুলি ভবা হয়। প্ৰাচীন ভাৰতীয় পণ্ডিতসকলে গণিতশাস্ত্ৰত বহুতো মূল্যবান, মৌলিক কথা আবিষ্কাৰ কৰি জাতিটোক মহীয়ান কৰি থৈ গৈছে। সিন্ধু উপত্যকাৰ খননকাৰ্য অধ্যয়ন কৰি সেই সভ্যতা খৃষ্টপূৰ্ব ৩২৫০ৰ পৰা খৃষ্টপূৰ্ব ২৭৫০ৰ ভিতৰত বুলি ঠাৱৰ কৰা হৈছে। মহেঞ্জোদাৰো আৰু হৰপ্পাত যিবোৰ নলা-নৰ্দমা, আ-অট্ৰালিকা আৰু অন্যান্য নিৰ্মাণৰ ভগ্নাৱশেষ আবিষ্কাৰ হৈছে, সেইবোৰ উচ্চ মানবিশিষ্ট গণিত আৰু কাৰিকৰী বিজ্ঞান অবিহনে সম্ভৱ নহয় বুলি বিশেষজ্ঞসকলে মন্তব্য কৰিছে। মহেঞ্জোদাৰো আৰু হৰপ্পাত কিছুমান মোহৰ আৰু বহুতো শিলৰ দগা উদ্ধাৰ হৈছে। এইবোৰে সাক্ষ্য দিয়ে যে, সিন্ধু সভ্যতাৰ লোকসকল হিচাপ-নিকাচ আৰু জোখ-মাখৰ ক্ষেত্ৰত পাৰদৰ্শী আছিল। তেওঁলোকে ব্যৱহাৰ কৰা দগাবোৰৰ প্ৰায়ভাগেই আজিৰ ২৭.২ গ্ৰামৰ ভগ্নাংশ অথবা গুণিতক আছিল। মহেঞ্জোদাৰোত ৬.৬২ ছেন্টিমিটাৰ দীঘল আৰু ০.৬২ ছেন্টিমিটাৰ বহল জোখৰ স্কেল এডালৰ ভগা অংশ এটা পোৱা গৈছে। স্কেলডালত নটা সমান্তৰাল দাগ সমান-সমান ব্যৱধানত কটা আছে। এপিনৰ এটা দাগৰ ওপৰত এটা বিন্দু বা ডট(.) আৰু তাৰপৰা ১.৩২ ইঞ্চি আঁতৰত থকা আন এটা দাগৰ ওপৰত এটা সৰু বৃত্ত অংকিত কৰা আছে। সম্ভৱতঃ এই দুটা বিশেষ সংকেতৰ মাজৰ ব্যৱধানেই আছিল তাহানিকালত দীঘল কোনো এটা একক। সিন্ধু উপত্যকাৰ লোকসকলে সংখ্যা বুজাবলৈ উল্লম্ব, সমান্তৰাল ৰেখাখণ্ড কিছুমান ব্যৱহাৰ কৰিছিল— আজিৰ ৰোমান লিপিত এক, দুই, তিনি যেনেদৰে I, II আৰু IIIৰে বুজায়, তেনেদৰে। অৱশ্যে ৰোমান সংখ্যাবোৰৰ সৈতে সিন্ধু উপত্যকাৰ সংখ্যাবোৰৰ বিশেষ মিল নাছিল। আকৌ, ডাঙৰ-ডাঙৰ সংখ্যাবোৰনো কেনেদৰে বুজোৱা হৈছিল সেই বিষয়ে উপযুক্ত সাক্ষ্য বিচাৰি পাবলৈ নাই। সিন্ধু সভ্যতাৰ তুলনাত বৈদিক যুগৰ হিন্দুসকলৰ অৱদান বহু বেছি। বৈদিক হিন্দুসকলে বৈজ্ঞানিক ভিত্তিত সংখ্যা পদ্ধতি(number system) গঢ়ি তুলিছিল। আজি ১ৰপৰা ৯লৈকে যিবোৰ অংক বুজোৱা সংকেত সমগ্ৰ বিশ্বই ব্যৱহাৰ কৰে সেইবোৰ প্ৰাচীন ভাৰতৰ অৱদান। কেৱল ১ৰপৰা ৯লৈকেই নহয়, ০ (শূন্য)টোও বৈদিক হিন্দুসকলেই পোনতে সৃষ্টি কৰিছিল। তদুপৰি তেওঁলোকেই দশমিক স্থানীয়মান সংকেতো আবিষ্কাৰ কৰিছিল। আমি যে একক, দহক, শতক, হাজাৰ আদি স্থানীয়মানৰ সৈতে দহৰ গুণিতক বা ভগ্নাংশ হিচাপে থাকে। সেয়াই দশমিক স্থানীয়মান সংকেত। এই প্ৰসংগত ইতিহাসবিদ এলফিনষ্ট’নে কোৱা কথা এষাৰ তাৎপৰ্যপূৰ্ণ,— “পাটীগণিতত সৰ্ববাদীসন্মত দহ ধৰি গণনা কৰা পদ্ধতি আবিষ্কাৰৰ বাবে হিন্দুসকল সুপ্ৰসিদ্ধ। হয়তো এই কাৰণেই গ্ৰীকসকলৰ তুলনাত হিন্দুসকলে গণিতত ইমান বেছি উন্নতি কৰিব পাৰিছিল। আৰবে তেওঁলোকৰপৰাই গণনা পদ্ধতি শিকিছিল।”

## 24 Aprকাল্পনিক সংখ্যা

গণিতত কল্পনা! সঁচাকৈয়ে যুক্তিৰ বাহিৰত যেনেই লাগে। পিছে গাণিতিক যুক্তিৰ নিছিগা হাৰডালিত গণিতৰ নানা হীৰা মৰকত গাঁথি যাঁওতে গণিতজ্ঞসকলে যিধৰণৰ সমস্যাৰ সমুখীন হ’ব লগা হয় সেই সকলোবোৰেই গণিতৰ অগ্ৰগতিৰ ইতিহাসত নিজে নিজে সোমাই পৰে আৰু কিছুদূৰ আগবাঢ়ি আহি পিছলৈ উভটি চালে কোনো কোনো গাণিতিক সংঘটন অতি আচৰিত যেন লাগে। ঠিক এনে ধৰণৰ গাণিতিক সংঘটন এটাৰ বিষয়ে আলোচনা কৰিব খুজিছো আমাৰ এই প্ৰবন্ধটিত। সেয়া হ’ল বৰ্তমান গণিতৰ এৰাব নোৱাৰা অংশ— জটিল সংখ্যা, যাৰ স’তে \$\$i=sqrt{-1}\$\$ ওতঃপ্ৰোতভাৱে জড়িত। এই \$\$i=sqrt{-1}\$\$ সংখ্যাটিক নাম দিয়া হৈছিল “কাল্পনিক সংখ্যা”। এই “অসম্ভৱ” বা কাল্পনিক সংখ্যাৰ উৎপত্তি, ইয়াৰ ক্ৰমবিকাশ তথা প্ৰয়োগ ইত্যাদি সম্পৰ্কে আলোচনা কৰাই প্ৰবন্ধটিৰ উদ্দেশ্য। সোতৰ শতিকা পৰ্যন্ত ঋণ সংখ্যাবোৰো এক ধৰণৰ গোলমলীয়া সংখ্যায়েই আছিল| ষোল শতিকাৰ মাজভাগত এণ্টইন আৰ্ণল্ডে (Antoine Arnauld) \$\$frac{-1}{1}=frac{1}{-1}\$\$ এনে ধৰণৰ সমতাত আশ্চৰ্য প্ৰকাশ কৰিছিল| এই আশ্চৰ্যকৰ যুক্তিটো আছিল এনে ধৰণৰ যে— সৰু সংখ্যা এটা আৰু ডাঙৰ সংখ্যা এটাৰ অনুপাত জানো ডাঙৰ সংখ্যাটো আৰু সৰু সংখ্যাটোৰ অনুপাতৰ সমান হ’ব পাৰে? সেয়ে ওপৰৰ ধৰণৰ সমতা তেওঁৰ চিন্তাৰে (যুক্তিৰে) এক ধৰণৰ বুৰ্বকামী (nonsense) আছিল| 1712 চনত কলন গণিতৰ অন্যতম পিতৃস্বৰূপ লাইবনিজে (Leibnitz) কৈছিল যে, এই সন্দৰ্ভত ‘Arnauld had a point’, থমাচ্‌ হেৰিঅত্‌ (Thomas Harriot. 1560-1621) ঋণ সংখ্যাক লৈ হোৱা গাণিতিক সমস্যাৰ স’তে জড়িত আছিল| অৱশ্যে তাৰো বহুত আগতে 628 খীষ্টাব্দত ভাৰতীয় গণিতজ্ঞ ব্ৰক্ষ্মগুপ্তই কৃতকাৰ্যতাৰে ঋণ সংখ্যাৰ খেল খেলাৰ উদাহৰণ আছে| পিছে ৰাফেল বম্বেলিয়েহে (Raphel Bombelli) ঋণ সংখ্যাৰ স্পষ্ট সংজ্ঞা দিয়ে|

## 31 MarFundamental Theorem of Algebra

Prof. S. C. Arora, formerly from the University of Delhi gave a talk recently at Tezpur University on the Fundamental Theorem of Algebra. We are thankful to Prof. Arora for allowing us to share the ppt with our readers. Please click here to download the...

## 14 MarPi Day

Pi Day is an annual celebration commemorating the mathematical constant π (pi). Pi Day is observed on March 14 (or 3/14 in month/day date format), since 3, 1 and 4 are the three most significant digits of π in the decimal form. In 2009, the...

## 20 FebInternational Congress of Mathematicians 2014

[This article originally appeared in the Asia Pacific Mathematics Newsletter (January 2011, Issue No 1), World Scientific. We are republishing it here with special permission from World Scientific.]   Overview A global festival of mathematics, International Congress of Mathematicians (ICM) will be held in August 13–21, 2014 in...

## 10 FebStamps on Asian Mathematicians

Xiong Qinglai (1893–1921) Xiong Qinglai was a Chinese mathematician from Yunnan. He was the person who introduced modern mathematics to China. He studied in Europe for eight years (1913 to 1921) before returning to China to teach. In 1921, he set up the Department of Mathematics...

## 10 Febৰামানুজন - গণিতজ্ঞ আৰু মানুহজন : অধ্যায় L : ৰামানুজনৰ নোটবুককেইটা

L-1 মাদ্ৰাজ বিশ্ববিদ্যালয়ৰ দ্বাৰা অধিগ্ৰহণ : আৰ. লিটল্-হেইলছচৰ উদ্যোগত ১৯১৯ চনত মাদ্ৰাজ বিশ্ববিদ্যালয়ে ৰামানুজনে ল’ব পৰাকৈ এখন গণিত আসন স্থাপন কৰিবলৈ সিদ্ধান্ত লৈছিল (অধ্যায় H-5)। কিন্তু ১৯২০ চনত তেওঁৰ মৃত্যুৱে এই সিদ্ধান্ত কাৰ্যকৰী কৰিব নোৱাৰিলে। পিছে, বিশ্ববিদ্যালয়ে তেওঁৰ নোটবুক কেইটাকে ধৰি সকলো গৱেষণা প্ৰবন্ধ তেওঁৰ পৰিয়ালৰ...