পেলিনড্ৰম সংখ্যা (Palindrome Number)


Download this post as PDF (will not include images and mathematical symbols).


যিবোৰ শব্দ, বাক্য বা ছন্দ সচৰাচৰ পঢ়াৰ ধৰণতকৈ বিপৰীত ফালৰ পৰা, অৰ্থাৎ সোঁফালৰ পৰা বাওঁফাললৈ পঢ়িলে একেই হয় সেইবোৰক পেলিনড্ৰম বোলে। যেনে- Refer, level, নৱজীৱন। তথ্য অনুসৰি, মধ্যযুগত ইউৰোপ, আমেৰিকাত পেলিনড্ৰম আৱিস্কাৰ কৰাতো এটি খেলৰ দৰে আছিল আৰু গ্ৰীক, লেটিন আৰু ৰোমান ভাষাত ইয়াৰ চৰ্চা বেছিকৈ হৈছিল। তাতকৈ কিছু কম পৰিমাণে ইংৰাজী ভাষাতো বহুতো পেলিনড্ৰম পোৱা যায়। ভাৰতীয় ভাষাবোৰত পেলিনড্ৰম অতি কম।

বিভিন্ন ভাষাৰ কিছুমান পেলিনড্ৰম:-

অসমীয়া:-

মৰম, তলত, কনক, মলম, কটক (উৰিষ্যা), কাজিৰঙাৰ জিকা, নৱজীৱন ইত্যাদি।

বঙালী:-

“মিতু কোথায় থাকো তুমি”, সুবল লাল বসু, রমাকান্ত কামার (নাম) ।

হিন্দী:-

डालडा, ৰাধা কী বুনিমে নিবু কী ধাৰা

ইংৰাজী:-

Refer, level, madam, eye, Eve, deed, Malayalam (দক্ষীণ ভাৰতীয় এটি ভাষা), Idappadi (এখন চহৰ, তামিলনাডু)

Top part at a trap pot,

Able was I ere I saw Elba,

Madam, I’m Adam (আদমে ইভৰ লগত এনেদৰে পৰিচিত হৈছিল হেনো।)

ৰোমান:-

Si nummi immunis (এজন ৰোমান উকীলে কোনোবা এজনক এনেদৰে কৈছিল। ইয়াৰ অৰ্থ give me my fee, and I warrant you free.  উৎস:- পেলিনড্ৰম সম্পৰ্কীয় এটা প্ৰবন্ধ।)

সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত, এনেধৰণৰ সংখ্যবোৰক পেলিনড্ৰম সংখ্যা বোলা হয়। যেনে- 21312, 99 ।

দুটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যাকেইটা হ’ল 11, 22, …. আৰু 99। অৰ্থাৎ, দুটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা আছে 9 টা।

তিনিটা অংকৰে গঠিত সংখ্যা এটা পেলিনড্ৰম সংখ্যা হ’বলৈ হ’লে সংখ্যাটোৰ গঠন “কখক” ধৰণৰ হ’ব লাগিব, য’ত ‘ক’ আৰু ‘খ’ একোটা অংক। যেনে- 161, 343 । আকৌ, এই সংখ্যাবোৰৰ একক আৰু শতকৰ স্থানত 0 থাকিব নোৱাৰে, কাৰণ তেতিয়া সংখ্যাটো তিনিটা অংকৰে গঠিত সংখ্যা হৈ নাথাকিব। অৰ্থাৎ, এনে সংখ্যাত একক আৰু শতকৰ স্থানত 1 ৰ পৰা 9 লৈ যিকোনো এটা অংক থাকিব পাৰিব আৰু দহকৰ স্থানত 0 ৰ পৰা 9 লৈ যিকোনো এটা অংক থাকিব পাৰিব। যদি একক আৰু শতকৰ স্থানত 1 থাকে তেন্তে তিনিটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যাবোৰ হ’ব- 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181 আৰু 191 । মুঠ দহটা। গতিকে, তিনিটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা আছে 9×10=10 টা

আনহাতে, চাৰিটা অংকৰে গঠিত সংখ্যা এটা পেলিনড্ৰম সংখ্যা হ’বলৈ হ’লে, সংখ্যাটোৰ এককৰ ঘৰৰ অংকটো হাজাৰৰ ঘৰৰ অংকটোৰ সমান আৰু দহকৰ ঘৰৰ অংকটো শতকৰ ঘৰৰ অংকটোৰ সমান হ’ব লাগিব। অৰ্থাৎ সংখ্যাটো দেখাত এনেকুৱা হ’ব- কখখক। ইয়াতো যদি হাজাৰৰ ঘৰৰ অংকটো 0 হয়, তেন্তে সংখ্যাটো চাৰিটা অংকৰে গঠিত সংখ্যা হৈ নাথাকিব। গতিকে হাজাৰৰ ঘৰৰ (আৰু এককৰ ঘৰৰ) অংকটো 0 হ’ব নোৱাৰে, সেয়েহে এই দুটা স্থানত 1 ৰ পৰা 9 লৈ যিকোনো এটা অংক থাকিব পাৰিব। আৰু বাকী দুটা স্থানত 0 ৰ পৰা 9 লৈ যিকোনো এটা অংক থাকিব। গতিকে তিনিটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যাৰ ক্ষেত্ৰত হোৱাৰ দৰে, চাৰিটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা আছে 9×10=90 টা।

অলপ সুক্ষ্মভাবে চালে আমি দেখা পাম যে— পাঁছটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা আছে মুঠ 900 টা আৰু একেদৰে ছটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যাৰ মুঠ সংখ্যা 900 টা। সাতটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যাৰ মুঠ সংখ্যা 9000 টা, আঠটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যাৰ মুঠ সংখ্যা 9000 টা, …. ইত্যাদি।

9, 90, 90, 900, 900, 9000, 9000…… এই সংখ্যাবোৰত এটা বিশেষ সজ্জা নিহিত হৈ আছে। সেইখিনি হ’ল—

$$9=9\times 10^0$$

$$90=9\times 10^1$$

$$90=9\times 10^1$$

$$900=9\times 10^2$$

$$900=9\times 10^2$$

$$9000=9\times 10^3$$

$$9000=9\times 10^3$$

.

.

.

এই সজ্জাটোক পুনৰ সজাই এনেদৰে লিখিব পৰা যাব—

$$9=9\times 10^0=9\times 10^{\frac{2}{2}-1}$$

$$90=9\times 10^1=9\times 10^{\frac{(3-1)}{2}}$$

$$90=9\times 10^1=9\times 10^{\frac{4}{2}-1}$$

$$900=9\times 10^2=9\times 10^{\frac{(5-1)}{2}}$$

$$900=9\times 10^2=9\times 10^{\frac{6}{2}-1}$$

$$9000=9\times 10^3=9\times 10^{\frac{(7-1)}{2}}$$

$$9000=9\times 10^3=9\times 10^{\frac{8}{2}-1}$$

.

.

.

অৰ্থাৎ, যদি n এটা অযুগ্ম সংখ্যা হয় তেন্তে n টা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা থাকিব = $$9\times 10^{\frac{(n-1)}{2}}$$ টা।

আৰু যদি n এটা যুগ্ম সংখ্যা হয় তেন্তে n টা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা থাকিব = $$9\times 10^{\frac{n}{2}-1}$$ টা।

এতিয়া উদাহৰণস্বৰূপে, আমি ক’ব পাৰিম— এক কোটিতকৈ সৰু পেলিনড্ৰম সংখ্যা কিমানটা আছে?

উত্তৰ—  10+9+90+90+900+900+9000 টা

বা

$$10+9\times 10^0+9\times 10^1+9\times 10^1+9\times 10^2+9\times 10^2+9\times 10^3=10,999$$ টা।

কেইটামান প্ৰমেয় :-

(এইসমূহ প্ৰমাণ কৰিবলৈ হাইস্কুলীয়া ছাত্ৰ-ছাত্ৰী বা গণিত অলিম্পিয়াদ দিবলৈ আগ্ৰহী যিকোনো শ্ৰেণীৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীয়ে যত্ন কৰা উচিত।)

প্ৰমেয়-1:- 1 ৰ পৰা 9 লৈ যিকোনো পাঁছটা অংক লৈ গঠিত, পাঁছটা অংকৰ সংখ্যাসমূহৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটোৰ পৰা আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো বিয়োগ কৰিলে, বিয়োগফল 99 ৰে বিভাজ্য আৰু ভাগফলটো এটা তিনিটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা।

উদাহৰণ:- 2, 3, 4, 7, 8 এই পাঁছটা অংক লোৱা হ’ল।

ইয়াত, 87432-23478=63954=99×646

আৰু 646 এটা তিনিটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা।

প্ৰমেয়-2:- 1 ৰ পৰা 9 লৈ যিকোনো সাতটা অংক লৈ গঠিত, সাতটা অংকৰ সংখ্যাসমূহৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটোৰ পৰা আটাইতকৈ সৰু সংখ্যাটো বিয়োগ কৰিলে, বিয়োগফল 99 ৰে বিভাজ্য আৰু ভাগফলটো এটা পাঁছটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা হ’ব যদিহে অংককেইটা অধোক্ৰমত সজালে প্ৰথম আৰু তৃতীয় অংক দুটাৰ সমষ্টি আৰু পঞ্চম আৰু সপ্তম অংক দুটাৰ সমষ্টিৰ অন্তৰ 10 ত কৈ কম হয়।

উদাহৰণ:- 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 এই সাতটা অংক লোৱা হ’ল।

ইয়াত অধোক্ৰমত সজালে পাম 9, 8, 7, 6, 5, 3, 2 আৰু 9+7-5+2 = 9 < 10।

আৰু 9876532-2356789=7519743=99×75957

ইয়াত, 75957 এটা পাঁছটা অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যা।

যিবোৰ মৌলিক সংখ্যা পেলিনড্ৰম সংখ্যাও সেইবোৰক পেলিনড্ৰমীয় মৌলিক সংখ্যা বোলা হয়। যেনে— 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131 ইত্যাদি। এতিয়ালৈকে আৱিস্কৃত পেলিনড্ৰমীয় মৌলিক সংখ্যাসমূহৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ সংখ্যাটো হ’ল:

$$P=\Phi _3(10^{137747})+\frac{(137.10^{137748}+731.10^{129293})(10^{8454}-1)}{999},$$

য’ত $$\Phi _n(x)$$ হ’ল এটা cyclotomic polynomial.

এই সংখ্যাটো 275495 টা অংকৰে গঠিত।

প্ৰমেয়-3:- যুগ্ম সংখ্যক অংকৰে গঠিত পেলিনড্ৰম সংখ্যাসমূহ 11 য়ে বিভাজ্য।

এই প্ৰমেয় অনুসৰি, 11 ক বাদ দি, যুগ্ম সংখ্যক অংকৰে গঠিত আন সকলো পেলিনড্ৰম সংখ্যাই পেলিনড্ৰমীয় মৌলিক সংখ্যা নহয়।

আন সংখ্যা প্ৰণালীটো পেলিনড্ৰম সংখ্যা সম্পৰ্কত অধ্যয়ন কৰা হয়। ইয়াত দশমিক প্ৰণালীৰ পেলিনড্ৰম সংখ্যাৰ সামান্য পৰিচয় দিবলৈ যত্ন কৰা হ’ল।

No Comments

Leave a Reply

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.