জ্যামিতিক ধাৰণা আৰু স্বীকাৰ্যৰ প্ৰসংগত

আৰম্ভণিতে আমি গণিতৰ গুৰুত্বপূৰ্ণ তথা সন্মানীয় স্থানখন বিখ্যাত দাৰ্শনিক (Philosopher) প্লেট’ৰ ধাৰণাৰে কেনে ধৰণে ব্যাখ্যাত হৈছে, মন কৰোহঁক|

প্লেট’ৰ ৰিপাব্লিক (Republic) ত তেওঁৰ কল্পনাৰ সমাজখনৰ বিভিন্ন শ্ৰেণীৰ উৰ্দ্ধতম স্থানত থকা ‘এলিট্‌’ (Elite) শ্ৰেণীটোৰ সন্দৰ্ভত কৈছে, “প্ৰথমে আমাৰ ‘এলিট’সকলে ‘পৰিষ্কাৰ’ভাবে ভাবিব পাৰিব লাগিব| সেই উদ্দেশ্যে তেওঁলোকে ‘ধাৰণাৰ নীতি’ অধ্যয়ন কৰিব লাগিব|”

এই সম্পৰ্কত উইল ডুৰাণ্টে তেওঁৰ ষ্ট’ৰি অফ্‌ ফিলচ’ফি (Story of Philosophy) ত লিখিছে “এটা বস্তুৰ ধাৰণা হৈছে— সেই বস্তুটো যিটো শ্ৰেণীৰ অন্তৰ্ভুক্ত, তাৰে ‘সাধাৰণ ধাৰণা’— বা ই হ’ব পাৰে সেই নিয়ম বা নিয়মসমূহ যাৰে বস্তুটো ‘সচল’ বা ‘প্ৰক্ৰিয়াবদ্ধ’ হয়— বা ই হ’ব পাৰে সঠিক উদ্দেশ্যৰ আৰু আদৰ্শৰ যাৰ ফালে বস্তুটো বা ইয়াৰ শ্ৰেণীটো অগ্ৰসৰ হয়| এই ধাৰণা, নিয়ম আৰু আদৰ্শবোৰ অধিক স্থায়ী আৰু সেয়ে বেছি বাস্তৱ, ইন্দ্ৰিয়লব্ধ নিৰ্দিষ্ট বস্তুসমূহতকৈ যাৰে আমি ধাৰণা লওঁ আৰু সেইবোৰ পাওঁ (Deduce)|”

ৰাম, যদু, মধুতকৈ ‘মানুহ’ বেছি স্থায়ী| কাগজত পেঞ্চিলেৰে অঁকা বৃত্তটো ৰবৰেৰে মচি পেলোৱাৰ পিছতো ইয়াৰ ধাৰণা সদায়েই আছে| পদাৰ্থ বিজ্ঞানৰ কোনো বিশেষ নিয়ম আমি চকুৰে নেদেখিলেও ই আগতেও আছিল, আজিও আছে আৰু ভৱিষ্যতেও থাকিবই| এখন দলং মজবুতকৈ সাজিবলৈ যেনে ধৰণৰ গাণিতিক, অভিযান্ত্ৰিক কলা-কৌশলতা বা কাৰিকৰী জ্ঞানৰ প্ৰয়োজন, সেইবোৰ সদায়েই একে| গণিতজ্ঞজন বা অভিযন্তাজন যেনে ধৰণৰ মানৱীয় গুণবিশিষ্ট নহওক কিয়, দলঙখন মজবুতকৈ সাজিবলৈ হ’লে একে ধৰণৰ হিচাপ-নিকাচৰ জৰিয়তেই সাজিব লাগিব| ডুৰাণ্টে কৈছে এই নিয়মবোৰ যেনিবা ‘ঈশ্বৰ’| এই ঈশ্বৰেই যেনিবা দলঙখনক ‘তেওঁৰ হাতৰ ওপৰত থিয়কৈ ৰাখিব|’

এৰিষ্ট’টলে এনে কেতবোৰৰেই আভাস দিছিল— যেতিয়া তেওঁ কয় যে, প্লেট’ই বুজোৱা ‘ধাৰণা’টোৱে তাকেই বুজায়— যিটো পাইথাগোৰাছে ‘সংখ্যা’ বুলি বুজাইছিল| ‘এয়া সংখ্যাৰ জগত’ বুলি শিকাওঁতে|

প্লেট’ৰ মতে ‘ঈশ্বৰে সদায় জ্যামিতিকৰণ কৰে|’ একে কথাকে স্পিন’জাই অলপ বেলেগ ধৰেণে বৰ্ণাইছে— “ঈশ্বৰ আৰু ‘গঠন আৰু প্ৰক্ৰিয়াসমূহৰ সাৰ্বজনীন নিয়মসমূহ’ একে আৰু এক বাস্তৱতাৰ|” আধুনিক যুগৰ দৰ্শন তথা গণিতত মৌলিকতাৰ স্বাক্ষৰ বহন কৰা অন্য এজন তীক্ষ্ণধী ব্যক্তি বাৰ্ট্ৰাণ্ড ৰাছেলৰ উক্তিৰে ডুৰাণ্টে তেওঁৰ বক্তব্য তথা মন্তব্যৰ সৰলতাৰ প্ৰত্যয় জন্মাইছে এনেদৰে— “গণিত হ’ল দৰ্শনৰ অপৰিহাৰ্য প্ৰস্তাৱনা|” প্লেট’ৰ একাডেমীৰ প্ৰৱেশদ্বাৰত লিখা আছিল সেয়ে এইকেইটা শব্দ— “Let no man ignorant of geometry enter here.”

সকলো ধৰণৰ বিজ্ঞানৰ উৰ্দ্ধত গণিতৰ এখন বিশেষ আসন আছে| ইয়াৰ গুৰুত্ব এইবাবেই বেছি যে গণিতৰ ফলাফলসমূহ পূৰামাত্ৰাই সঠিক তৰ্কাতীত| পিছে বিজ্ঞানৰ অইন শাখাসমূহৰ ফলবোৰ কিছু পৰিমাণে বিতৰ্কমূলক| তদুপৰি কোনো নতুন তাত্ত্বিক উদ্‌ঘাটনৰদ্বাৰা স্থানচ্যুত হোৱাৰ আশংকাও নথকা নহয়| এইখিনিতে মন কৰিবলগীয়া যে গণিত বিষয়টোৱেই যেনিবা অধিক দাৰ্শনিক (Philosophic)| গণিতৰ উপপাদ্যসমূহৰ বিষয়বস্তু সম্পূৰ্ণভাৱে মনন জগতখনৰ; আনহাতে বিজ্ঞানৰ অন্য শাখাৰ ক্ষেত্ৰত এইবোৰ বাস্তৱ (বস্তু) জগতখনৰ|

গতিকে স্বাভাৱিকতেই প্ৰশ্ন এটা মনলৈ আহে যে, অভিজ্ঞতাই অতীত মানৱৰ মানস সন্তান হোৱা সত্ত্বেও বস্তু জগতখনত কি কাৰণত বাৰু গণিত এনে প্ৰশংসনীয়ভাৱে গ্ৰহণযোগ্য হয়? ১৯২১ চনৰ ২৭ জানুৱাৰীত ‘প্ৰুচিয়ান একাডেমী’ত দিয়া ‘জ্যামিতি আৰু অভিজ্ঞতা শীৰ্ষক’ বক্তৃতা প্ৰসংগত প্ৰখ্যাত বিজ্ঞানী আইনষ্টাইনে এই ক্ষেত্ৰত দুটা কাৰণ দৰ্শাইছে— “যতদূৰ গণিতৰ উক্তিসমূহ বা উপপাদ্যসমূহ বাস্তৱৰ প্ৰসংগত আহে, ততদূৰ এইবোৰ সঠিক আৰু যতদূৰ এইবোৰ সঠিক হৈ থাকে ততদূৰ এইবোৰ বাস্তৱৰপৰা আঁতৰত|”

মানৱ মনে তেনেহ’লে অভিজ্ঞতা অবিহনে অকল চিন্তাৰ দ্বাৰাই বাস্তৱ জগতখনৰ ধৰ্মসমূহ ব্যাখ্যা কৰিবলৈ সক্ষম?

এই ক্ষেত্ৰত আটাইতকৈ গুৰুত্বপূৰ্ণ স্থান লৈছে স্বীকাৰ্য ধৰ্মীয়তাই (Axiomatics)| ইয়াত স্বীকাৰ্য শব্দটি আমি অলপ বহল অৰ্থত ব্যৱহাৰ কৰিম| স্বতঃসিদ্ধ (Axiom) আৰু স্বীকাৰ্য (Postulates) দুয়োটাকে স্বীকাৰ্য শব্দটিৰদ্বাৰাই বুজোৱা হ’ব| আমাৰ আলোচনা বিশেষ আগ নাবাঢ়োতে ওপৰৰ কথাখিনি অলপ বহলাই আলোচনা কৰা হওক|

জ্যামিতিৰ ওপৰত দাৰ্শনিক দৃষ্টিভংগী পূৰ্ব পৰম্পৰাৰপৰা একো সলনি হোৱা নাই| জ্ঞানৰ এলাকাত জ্যামিতি এটা আচৰিত সমস্যা আছিল| যিহেতু ভৌতিক জগতখনৰ সকলো ধৰণৰ জ্ঞান ইন্দ্ৰিয়লব্ধ আৰু স্বাভাৱিকতে এই জ্ঞান ত্ৰুটিমুক্ত নোহোৱাৰেই সম্ভাৱনা, সেয়ে ‘যুক্তিৰ পহৰা’ৰ আৱশ্যক| জ্যামিতিয়েই মাথোন এই ক্ষেত্ৰত বেলেগ| বাস্তৱ জগতখনৰ লগত জড়িত জ্যামিতিৰ সত্যকহে গাণিতিক উপায়ে প্ৰমাণ কৰি সন্দেহাতীতভাৱে পাব পাৰি| (ইউক্লিদীয়) জ্যামিতিৰ সুদূৰপ্ৰসাৰী প্ৰভাৱ বহুতো দাৰ্শনিক, বুৰঞ্জীবিদ, চিকিত্‍সক, আইনবিদ আদিয়ে মন কৰিছিল আৰু তেওঁলোকে তেওঁলোকৰ নিজৰ নিজৰ তত্ত্বক জ্যামিতিসুৰীয়া কৰিব বিচাৰিছিল| ‘বন্ধ চকু’ৰে বাস্তৱ অন্তৰীক্ষত এবাৰ চকু ফুৰাই জ্যামিতিক ধাৰণাক মূৰ্ত কৰা সম্পৰ্কত আচৰিত হৈ দাৰ্শনিক ইমানুৱেল কাণ্টে প্ৰশ্ন কৰিছিল যে প্ৰাক্‌ নিৰ্দ্ধাৰিত (Pre-assumed), সাংশ্লেষিক (Synthetic) বিচাৰ কেনেদৰে সম্ভৱ? ইউক্লিদীয় অন্তৰীক্ষ (space) সম্পৰ্কে কাণ্টৰ ধাৰণা হ’ল এই যে আমাৰ মানসিক গঠনত স্বভাৱতেই ইয়াৰ ধাৰণা বৰ্তি (exist) আছে| বিখ্যাত ‘Critique of Pure reason’ ত কাণ্টৰ ঘোষণা হ’ল— “এই (ইউক্লিদীয়) জগতখনৰ ধাৰণা কোনোপধ্যেই অভিজ্ঞতা-লব্ধ নহয়, বৰঞ্চ ই আমাৰ চিন্তাৰ এক অৱশ্যম্ভাৱী টান (necessity)|” স্থান আৰু জ্যামিতিৰ দাৰ্শনিক চিন্তা-চৰ্চা (ঊনৈছ শতিকাত) কাণ্টৰ প্ৰশ্ন তথা সমস্যা আৰু উত্তৰৰদ্বাৰা বেছ প্ৰভাৱিত হৈছিল|

পৰম্পৰাগতভাৱে স্বতঃসিদ্ধ হ’ল এটা স্ব-প্ৰতিষ্ঠিত সত্য| ইয়াক প্ৰমাণ কৰিব নোৱাৰি বা প্ৰমাণ কৰিবলৈ যোৱাটোও উচিত নহয়| আনকি স্বীকাৰ্যৰ সূত্ৰ ৰূপো অপ্ৰয়োজনীয়| স্বীকাৰ্যৰ কেৱল উক্তিহে দিয়া হয়, কিন্তু ব্যাখ্যা কৰা নহয়| আমোদৰ কথা এয়ে যে কোনোবাই জ্যামিতিক প্ৰমাণ এটাৰ অসম্পূৰ্ণতালৈ আঙুলিয়ালে এটা সহজ উত্তৰৰ সম্ভাৱনা থাকে যে— ই এটা স্বীকাৰ্য| বহু পিছতহে স্বীকাৰ্য সূত্ৰীকৰণ কৰা পৰম্পৰা এটা গঢ় লয় আৰু লাহে লাহে গণিতজ্ঞসকলে শিকিবলৈ ধৰে যে এটা সম্পূৰ্ণ স্বীকাৰ্য পদ্ধতিৰ জ্যামিতিত অধিক সতৰ্ক বা মনযোগী হ’ব লাগে| ইমানখিনি সাৱধানতা তথা যথাৰ্থতা সম্পৰ্কে বিশদ ব্যাখ্যা হয়তো ইউক্লিদীয় জ্যামিতিত লোৱা বা দিয়া হোৱা নাছিল| জ্যামিতিৰ ‘দাৰ্শনিক অস্পষ্টতা’ত শেষ সমাধান দিয়ে জাৰ্মান গণিতজ্ঞ ডেভিদ হিলবাৰ্টে ১৮৯৩ চনত তেওঁৰ দি ফাউণ্ডেশ্যন অব্‌ জিঅ’মেট্ৰি (১৯০২) গ্ৰন্থত| হিলবাৰ্টে ইয়াত জ্যামিতি সম্পৰ্কীয় আলোচনা আৰম্ভ কৰিছে এনেদৰে— “আমি তিনিধৰণৰ ‘বস্তু’ৰ কল্পনা কৰোঁ— বিন্দু, ৰেখা আৰু সমতল| এই বিন্দু, ৰেখা আৰু সমতলৰ কল্পনা কৰা হয় কেতবোৰ সম্পৰ্কৰ যোগে, যেনে— ‘ওপৰত’ (Lying on), ‘দুটাৰ মাজত’ (between), ‘সমান্তৰাল’ (parallel), ‘সৰ্বসম’ (congruent) আদি| ইয়াৰ পিছত তেওঁ ইতিমধ্যে লোৱা ‘বস্তু’ আৰু সম্পৰ্ক বোৰেৰে মানি চলা স্বীকাৰ্যসমূহৰ উক্তি দিয়ে| হিলবাৰ্টে যেতিয়াই “We imagine” বুলি আৰম্ভ কৰিলে, তাৰ লগে লগে এই বন্দোৱস্তটোৰ দ্বাৰা যেনিবা বাস্তৱৰ সৈতে জ্যামিতিৰ সম্পৰ্ক ছিঙিল— জ্যামিতি মৌলিক (Pure) গণিতলৈ আহিল| লগে লগেই, গণিতৰ অইন শাখাবোৰৰ দৰে জ্যামিতিৰ ক্ষেত্ৰতো এনে এটা প্ৰশ্ন তোলাৰ অৱকাশ থাকিল যে— তেনেহ’লে কেতিয়া ইয়াৰ বাস্তৱ প্ৰয়োগ সম্ভৱ— ইত্যাদি| কাৰণ স্বীকাৰ্যসমূহ অভিজ্ঞতালব্ধ সত্য নহয়| বহল অৰ্থত এয়া সত্যয়েই নহয়| হিলবাৰ্টে ৰেখা, বিন্দু, সমতল কি বা ‘ওপৰত থকা’ (lying on), ‘দুটাৰ মাজত’ (between), ‘সমান্তৰাল’ (parallel),  ‘সৰ্বাংগসমতা’ (congruence) কি— এইবোৰৰ অৰ্থ বুজাবলৈ কোনো সংজ্ঞা দিয়া নাই| এইবোৰ সংজ্ঞাহীন ধাৰণা| এইবোৰ জড়িত হৈ থকা ক্ষেত্ৰত স্বীকাৰ্যসমূহৰ যোগে এইবোৰত আন্তঃউপস্থাপন কৰা হৈছে| খেল এখন খেলোতে কোনো ‘বস্তু’ আৰু কোনো ‘সম্পৰ্ক’ৰ মাজত কেতবোৰ নিয়ম দি লোৱা হয়| এই ক্ষেত্ৰতো সদৃশ প্ৰক্ৰিয়ায়েই কাম কৰিছে| ক্ৰমৰ (order) স্বীকাৰ্য দিওঁতে হিলবাৰ্টে কয়— “নিম্নোক্ত স্বীকাৰ্যসমূহে ‘ক্ৰম’ৰ ধাৰণাৰ সংজ্ঞা দিয়ে|” সৰ্বাংগসমতাৰ স্বীকাৰ্য দিওঁতে কয়— “নিম্নোক্ত স্বীকাৰ্যসমূহে ‘সৰ্বসমতা’ৰ ধাৰণাৰ সংজ্ঞা দিয়ে” ইত্যাদি|

জ্যামিতিৰ এটা স্বতঃসিদ্ধ মন কৰা হওকঃ “দুটা বিন্দুৰ মাজেৰে মাথোন এটা সৰলৰেখা টানিব পাৰি|” আইনষ্টাইনৰ মতে ওপৰৰ কথাখিনিক দুটা ভিন্ন দৃষ্টিৰে চাব পাৰি| এটা হ’লঃ মানৱ মনৰেই উত্‍পত্তি হওক বা অভিজ্ঞতালব্ধ ফলেই হওক বা এই দুটাৰ সমন্বিত ফলেই হওক— যেনেকৈয়ে হওক— এটা সৰলৰেখা বা এটা বিন্দু কি, তাক আমি জানো| আনহাতে, দ্বিতীয় ব্যাখ্যা হ’লঃ জ্যামিতিত ‘সৰলৰেখা’, ‘বিন্দু’ ইত্যাদি শব্দৰদ্বাৰা বুজোৱা কিছুমান ‘বস্তু’ সম্পৰ্কে অধ্যয়ন কৰা হয়| আইনষ্টাইনৰ ভাষাৰেই এই ক্ষেত্ৰত, “গাণিতিক বস্তুবোৰ”ৰ বোধৰ কোনো ধৰণৰ জ্ঞান ইয়াত ধৰি লোৱা হোৱা নাই, ইয়াৰ বিপৰীতে মাথোন স্বীকাৰ্যসমূহৰ সত্যতাহে লোৱা হৈছে| ইয়াক এনে এক অতি শুদ্ধ— “ফৰ্মেল” অৰ্থত লোৱা হৈছে যে এইবোৰ সকলো ধৰণৰ ‘বোধ’ বা ‘অভিজ্ঞতা’ৰ সাৰৰ ঊৰ্ধত আছে|” স্বতঃসিদ্ধবোৰ হ’ল মানৱ মনৰ মুক্ত সৃষ্টি| জ্যামিতিৰ বাকী সকলো উপপাদ্য হ’ল এই স্বতঃসিদ্ধবোৰৰ সহায়ত পোৱা যৌক্তিক সিদ্ধান্ত| স্বতঃসিদ্ধই জ্যামিতিত আলোচিত হোৱা ধাৰণাক সংজ্ঞাৱদ্ধ কৰে| ই হ’ল আপাততঃ এক আন্তঃসংজ্ঞা| স্বীকাৰ্য ধৰ্মীয়তাৰ এই ব্যাখ্যাই গণিতৰ অস্পষ্টতা সম্পৰ্কে কৰা সন্দেহ নিৰাকৰণ কৰাত সহায় কৰে| পিছে এজন পদাৰ্থবিদ হিচাপে আইনষ্টাইনে এটা বেলেগ দিশত এই বিষয়ত ৰেখাপাত কৰিছে| এই বিষয়ে আমি পিছত আলোচনা কৰিম| ওপৰত ব্যাখ্যা কৰা গণিতৰ এই শোধিত প্ৰকাশে আমাৰ ‘বোধ’ৰ (intuition) বিষয়ে বা বাস্তৱ বস্তু সম্পৰ্কে কোনো বাতৰি নিদিয়ে| স্বতঃসিদ্ধ তথা স্বীকাৰ্যৰ ভেঁটিত ব্যাখ্যা কৰা জ্যামিতিত ‘সৰলৰেখা’, ‘বিন্দু’ ইত্যাদি শব্দবোৰ ‘ধাৰণা শূন্য’ কিছুমান লৈখিক সজ্জা (graphic structure)| আমোদৰ কথা এয়ে যে যিহে এইবোৰক ‘সত্ত্বা’ দিয়ে সেইবোৰ পিছে গণিতৰ সৈতে সংগতিপূৰ্ণ নহয়| (এইখিনিতে আমাৰ প্ৰথম প্ৰবন্ধটি(“গণিত— এটা বিৰক্তিকৰ বিষয়”) পাঠকে মন কৰিব)| অৱশ্যে গণিতে, বিশেষতঃ জ্যামিতিয়ে বাস্তৱ ‘বস্তু’ৰ ‘স্বভাৱ’ সম্পৰ্কে যিহৰ প্ৰয়োজন তাৰেই সপক্ষত ৰয়| ওপৰত উল্লেখ কৰা জ্যামিতিৰ মৌলিক চৰিত্ৰটোৰপৰা বেলেগ, আইনষ্টাইনে উল্লেখ কৰা প্ৰায়োগিক জ্যামিতিৰ কথা আমি আলোচনা প্ৰসংগত উল্লেখ কৰিম|

ওপৰত উল্লেখ কৰি অহা ইমানুৱেল কাণ্টৰ উক্তি “আমাৰ মানসিক গঠনত ‘ইউক্লিডীয়-জগতখন’ স্বভাৱতেই (inherent) বৰ্তি আছে|” —সেয়া বুজিবলৈ জ্যামিতিৰ (ইউক্লিদীয়) প্ৰাচীনতম ৰূপটোৰ পৰা ক্ৰমাগত সাৱধানী বিশ্লেষণেই যথেষ্ট|

লিখিতভাৱে ৰখা মানুহৰ ধাৰণাৰ ভিতৰত জ্যামিতিয়েই প্ৰথম| মানুহে জ্যামিতিক চিত্ৰসমূহ স্থায়ী কৰি ৰাখিছিল মাটিৰ টুকুৰাত| এয়া খ্ৰীষ্টপূৰ্ব তিনি হাজাৰ বছৰৰ কথা| ইজিপ্ত আৰু বেবিলনত এনেধৰণে পোৱা জোখ-মাপ সম্পৰ্কীয় সূত্ৰৰ ভিতৰত পাইথাগোৰাচৰ উপপাদ্য অন্যতম| বিষয়বস্তু জ্যামিতি পিছে প্ৰকাশ মাধ্যম জ্যামিতি নহয় (অৰ্থাৎ জ্যামিতিক চিত্ৰ নহয়) এনে অধ্যয়নৰ সৈতে পাঠক পৰিচিত বুলিয়েই আমি ধৰি লৈছোঁ| ভিন্ন ঠাইত জ্যামিতিৰ ভাষা অছিল ভিন্ন| বেবিলনত বীজগণিতৰ সহায়ত জ্যমিতিৰ সমস্যা ব্যাখ্যা কৰা কায়্দা আছিল মন কৰিবলগীয়া| বিশেষ গুৰুত্বপূৰ্ণ কথা এয়ে যে বীজগণিতৰ ভাষাৰে জ্যমিতি অধ্যয়ন কৰিবলৈ লওঁতে বহু ক্ষেত্ৰত ভৱিষ্যত্‍বাণী কৰিব নোৱাৰাকৈ জ্যামিতিয়ে ক্ৰমাৎ অগ্ৰগতি লভে|

চম্ভালিব পৰা স্পষ্ট উদাহৰণ একোটা গণিতত বিশেষভাৱে ফলপ্ৰসূ বিবেচিত হয়| বেবিলনৰ জ্যামিতিত ৩:৪:৫ অনুপাতত থকা সমকোণী ত্ৰিভুজ সধনাই ব্যৱ্হাৰ হৈছিল| বেবিলনীয় এনেবোৰ পাঠত বৰ্গক্ষেত্ৰৰ কৰ্ণ আৰু বাহুৰ অনুপাত ($$sqrt{2}$$)ৰ আসন্নমানৰ উল্লেখ পোৱা যায়| পিছে খুব সম্ভৱ এই সময়ছোৱাত কোনো জ্যামিতিক তত্ত্বই গঢ় লোৱা নাছিল| খ্ৰী.পূ. ৩০০ চনৰ আগৰ গ্ৰীক দাৰ্শনিক ইউডেমছৰ মতে প্ৰথমজন জ্যামিতিবিদ হ’ল থেল্‌ছ্‌ (৬৪০-৫৪০ খ্ৰী.পূ.)| থেল্‌ছ্‌ আছিল— “গণিত আৰু দৰ্শনৰ ‘গ্ৰীক-স্কুল’টোৰ প্ৰতিষ্ঠাতা গ্ৰীচৰ সাতজন ঋষিতুল্যৰ এজন|” থেল্‌ছ্‌ৰ জ্যামিতি সম্পৰ্কীয় বিশেষ অৱদান হ’লঃ

(১) সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজৰ ভূমি সংলগ্ন কোণ দুটা সমান|

(২) পৰস্পৰে কটা দুডাল সৰলৰেখাৰ মূৰামূৰি কোণ দুটা সমান|

(৩) ভূমি আৰু ভূমি সংলগ্ন কোণ দুটা জনা থাকিলে ত্ৰিভূজটো নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি|

থেল্‌ছ্‌ পেশাত আছিল এজন ব্যৱসায়ী| ব্যৱসায় সংক্ৰান্তত তেওঁ ইজিপ্তলৈ যায়| আজৰিপৰত তেওঁ জ্যোতিৰ্বিজ্ঞান আৰু জ্যামিতি অধ্যয়ন কৰে| ওপৰৰ উপপাদ্যটি থেল্‌ছে ইজিপ্তৰ পিৰামিড এটাৰ উচ্চতা উলিয়াবলৈ লওঁতে ব্যৱহাৰ কৰে| এই সন্দৰ্ভত W.R. Ball ৰ A Short Account of History of Mathematics ৰ পৰা তলৰ বাক্যকেইটা তুলি দিয়া হ’ল—

“থেল্‌ছ্‌ৰ স’তে হোৱা এক কথোপকথনত প্লুটাৰ্কে কৈছিল, তোমাৰ খুঁটিটো পিৰামিডৰ ছাঁৰ শেষ মূৰত পুতি লোৱা, এনে কৰিলে সূৰ্যৰ ৰশ্মিৰে দুটা ত্ৰিভুজ পাবা| আৰু এয়া প্ৰমাণ কৰিব পৰা যায় যে, পিৰামিড আৰু খুঁটিৰ অনুপাত সিহঁতৰ যথাক্ৰমিক ছাঁৰ অনুপাতৰ সমান| এই আলোচনাত উপস্থিত থকা ৰজা এমেছিছ বিমূৰ্ত বিজ্ঞানৰ এই প্ৰয়োগত বৰ আশ্চৰ্যাম্বিত হৈছিল|”

থেল্‌ছ্‌ৰ জ্যামিতি সম্পৰ্কীয় অন্য দুটা বিশেষ অৱদান হ’লঃ

(৫) ব্যাসে বৃত্ত এটাক সমানে দুভাগ কৰে|

(৬) বৃত্তাৰ্দ্ধৰ কোণ এটা সমকোণ|

শেষৰ ফলটোৰ (result) গুৰুত্বপূৰ্ণ ভূমিকা সম্পৰ্কত এনেদৰে কোৱা হয়ঃ “এয়া কথিত আছে যে, এটা বৃত্তৰ অন্তৰ্গতকৈ এটা সমকোণী ত্ৰিভূজ আঁকি তেওঁ অ-মৰণশীল দেৱতালৈ বুলি এটা ষাঁড় উছৰ্গা কৰিছিল|”

দাৰ্শনিক ইউদেম্‌ছ পিছে এটা প্ৰশ্নৰ সন্মুখীন হৈছিল যে— ৩০০ খ্ৰী.পূ.ত হে দেখা দিয়া ইউক্লিদেও উল্লেখ নকৰা জ্যামিতিৰ গধুৰ উপপাদ্য প্ৰথম জ্যামিতিবিদজনৰ ক্ষেত্ৰত কেনেদৰে সম্ভৱ হ’ল|

৪৯০ খ্ৰী.পূ.ত পাইথাগোৰাচৰ মৃত্যু হয়| সমাজ ব্যৱস্থা, ৰাজনীতি ইত্যাদিৰ প্ৰভাৱে গণিতৰ দৰে পূৰামাত্ৰাই মনন জগতখনৰ বিষয়বস্তুকো বহুত ধৰণে প্ৰভাৱিত কৰে| খ্ৰী.পূ. পঞ্চম শতিকাত এৰিষ্টটলে আৰম্ভ কৰা ধৰ্মীয় ভাতৃত্বৰ ক্ষেত্ৰত দক্ষিণ ইটালীত পাইথাগোৰীয়সকলৰ ৰাজনৈতিক প্ৰভাৱো যথেষ্ট আছিল| পাইথাগোৰাছৰ উপপাদ্য হ’ল ইয়াৰ পিছৰ সংযোজন| পাইথাগোৰাচৰ লগত জড়িত অন্য এটা গাণিতিক আৱিষ্কাৰ হ’ল বৰ্গক্ষেত্ৰৰ কৰ্ণৰ অপৰিমেয় ধৰ্ম| অৰ্থাৎ বৰ্গক্ষেত্ৰৰ কৰ্ণ আৰু বাহুৰ অনুপাত, দুটা অখণ্ড সংখ্যাৰ অনুপাত হিচাপে প্ৰকাশযোগ্য নহয়| ইয়েই গ্ৰীক জ্যামিতিক প্ৰভাৱিত কৰে| একে সন্দৰ্ভত আৰু দুটা সমস্যা উল্লেখ কৰিব পাৰি| সেয়া হ’লঃ

(১) একে উন্নতি বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্ৰবোৰৰ কালি ভূমিৰ সমানুপাতী|

(২) দুটা নিৰ্দিষ্ট সৰলৰেখাৰ পৰা দুটা সমান্তৰাল সৰলৰেখাই সমানুপাতী অংশ কাটে|

এই ক্ষেত্ৰত এনেদৰে ভবা হৈছিল যে, ৰেখাখণ্ড দুটা, এটা উমৈহতীয়া জোখৰ সাধাৰণ গুণিতক| ইয়াৰ পৰাই শেষত ৰেখাখণ্ডৰ অপৰিমেয় অনুপাতৰ যোৰ (pair) আৱিষ্কাৰ কৰিলে| অখণ্ড সংখ্যাৰ অনুপাত বা সমানুপাতৰ পৰা আগবাঢ়ি গৈ সাধাৰণ ক্ষেত্ৰত সমানুপাতৰ গ্ৰহণযোগ্য ধাৰণা দিয়াৰ ফালে ইয়েই গ্ৰীক জ্যামিতিবিদসকলক আগুৱাই নিয়ে| যৌক্তিক অভিজ্ঞতাৰপৰা সংজ্ঞাৰ সহযোগত গাণিতিক ৰূপ দিয়াটো বা গাণিতিকভাৱে সজোৱাটোও এটা গাণিতিক সমস্যায়েই— এই উপলব্ধিও লগে লগে হৈ আহিছিল| অপৰিমেয়তাৰ (এই সম্পৰ্কে আগতে আলোচনা কৰা হৈছে) সমস্যাৰ পৰা গ্ৰীক জ্যামিতিবিদসকলে দুটা কথা শিকিছিল— যৌক্তিক বিশ্লেষণ আৰু গাণিতিক পুংখানুপুংখতা| পিছে সকলো ক্ষেত্ৰতেই মাত্ৰাধিক্যই ক্ষতি কৰে| গাণিতিক পুংখানুপুংখতাৰ মাত্ৰাধিক্যই গ্ৰীক গণিতৰ অগ্ৰগতিত বাধা আনিলে| আগতেই কৈ অহা হৈছে যে সাধাৰণ গ্ৰীক মনটো যেনেদৰে জ্যামিতিকেন্দ্ৰিক, বেবিলনীয় মনটো পিছে বীজগণিতকেন্দ্ৰিক| ওপৰৰ ব্যাখ্যাৰ পৰা বুজা গ’ল যে অপৰিমেয়তাৰ স্থিতি বীজগণিতৰদ্বাৰা গ্ৰহণযোগ্য নহয়— জ্যামিতিতহে মাথোন ইয়াৰ অস্তিত্ব| বীজগাণিতিক সম্পৰ্কসমূহ জ্যামিতিৰে ব্যাখ্যা কৰি তেওঁলোকে জ্যামিতিক বীজগণিত (Geometric Algebra) সৃষ্টি কৰিলে| অৱশ্যে প্ৰকৃতাৰ্থত বীজগণিতৰ স্ফুৰণ ঘটে আধুনিক গণিতৰ যুগতহে|

গণিতৰ অগ্ৰগতিৰ অন্তৰালত লুকাই আছে কিছুমান ‘বিৰোধ’| এই ‘বিৰোধে’ই ‘গণিতীয় সভ্যতা’ক আজিৰ এই আধুনিক ৰূপ দিছে| আৰু বোধকৰোঁ, অকল গণিতেই নহয়, জ্ঞানৰ আৰু বহুতো শাখাই সেইবোৰৰ মাজত সোমাই থকা ‘বিৰোধ’ৰ মাজেৰেই ক্ৰমবিকাশৰ জৰিয়তে আগুৱাই আহি আছে|

এনে এটা বিৰোধ সোমাই থকা ঘটনা হ’ল ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ এটা স্বতঃসিদ্ধ (স্বীকাৰ্য):

কোনো বিন্দুৰ মাজেৰে কোনো ৰেখাৰ সমান্তৰালকৈ মাত্ৰ এটাহে ৰেখা টানিব পাৰি| পিছে ইউক্লিদৰ কিতাপত দীৰ্ঘ সময় ধৰি ইয়াৰ প্ৰয়োগ বন্ধ ৰখা হয়| পণ্ডিতসকলে অনুমান কৰা মতে ইয়াৰ কাৰণ আছিল এয়ে যে— এনে ধৰণৰ স্বতঃসিদ্ধ এটা গ্ৰহণ কৰাৰ আগতে সকলো ফালৰ খুটি-নাটি ভালদৰে পৰ্যবেক্ষণ কৰা দৰকাৰ| অৱশ্যে ইউক্লিদৰ আগতেও ওপৰৰ ধৰণৰ স্বতঃসিদ্ধৰ আৱশ্যকতা সদায়েই আলোচিত হৈ আহিছে| অসীমত অৱস্থিত বিন্দুৰ ধাৰণাৰে এৰিষ্টটলে সমান্তৰালৰ ধাৰণা দিবলৈ চলোৱা চেষ্টা এই ক্ষেত্ৰত উল্লেখযোগ্য|

স্বতঃসিদ্ধ বা স্বীকাৰ্যৰ প্ৰয়োজনীয়তা বাৰু ক’ত? ছিড্‌নী স্মিথ নামৰ এজনে বাগিচাৰ বেৰ এখনক লৈ কাজিয়া কৰা দুজনী মহিলাৰ সম্পৰ্কত এনেদৰে কৈছে যে— দুয়োজনীয়েই ভিন্ন আশ্ৰিত উক্তিৰ (Premises) পৰা আৰম্ভ কৰিছে| গতিকে সমস্যা কেতিয়াও সমাধান নহ’ব| দাৰ্শনিক আৰু ন্যায়বিদসকলৰ দৰে, ইয়াৰ পৰা এয়া বুজা যায় যে কোনো ভেটি নথকাকৈ একো আশা কৰিব নোৱাৰি| যি কোনো যুক্তিৰ শিকলি আৰম্ভ হ’ব কিছুমান অপ্ৰমাণিত ধাৰণাৰে| এৰিষ্টটলে কোৱাৰ দৰে সকলো কথাই প্ৰমাণ কৰিবলৈ গ’লে প্ৰমাণৰ শিকলি অন্তহীন হ’ব| গতিকেই ক’ৰবাত আৰম্ভ কৰিব লাগিব আৰু সেয়ে প্ৰদৰ্শন কৰিব নোৱাৰা অথচ গ্ৰহণযোগ্য কোনোবাখিনিত খোপনি ল’ব লাগিব| ইউক্লিদ এই বিষয়ে সচেতন আছিল গুণেই তেওঁৰ বিখ্যাত ‘Elements’ লিখোঁতে তেওঁ মানি লোৱা ধাৰণাসমূহৰ তালিকাখন কৰি লৈ আগবাঢ়িছিল|

ইউক্লিদৰ কৃতিখিনি তেওঁৰ সম্পূৰ্ণ নিজা নহয়| এটা অৰ্থত তেওঁ এজন সংগ্ৰাহকহে| ভিন্ন আচৰণৰ, ভিন্ন গুণসম্পন্ন টুকুৰাবোৰ তেওঁ একেলগ কৰিছিল| পিছে খুব সম্ভৱ এই কাৰ্যত তেওঁ সম্পূৰ্ণ কৃতকাৰ্যতা লাভ কৰিব পৰা নাছিল|

সেয়ে বহু ক্ষেত্ৰত টুকুৰাসমূহ বেলেগে, পুনৰ উলিয়াই ল’ব পৰা হৈছিল| ইউক্লিদৰ ‘Elements’ আৰম্ভ হৈছে স্বতঃসিদ্ধ, স্বীকাৰ্য আৰু সংজ্ঞাৰে| সাধাৰণ স্বতঃসিদ্ধবোৰ হ’ল:

(১) যিবোৰ বস্তু অইন এটা নিৰ্দিষ্ট বস্তুৰ সমান সিহঁত পৰস্পৰ সমান|

(২) সমান সমান বস্তুৰ লগত সমান বস্তু বা এটা নিদিৰ্ষ্ট বস্তু যোগ কৰিলে সিহঁতৰ যোগফলবোৰ পৰস্পৰ সমান|

(৩) সমান সমান বা একে বস্তুৰ পৰা সমান সমান বা একে বস্তু বিয়োগ কৰিলে বিয়োগ ফলবোৰ পৰস্পৰ সমান|

(৪) কোনো এটা বস্তু তাৰ অংশতকৈ সদায় ডাঙৰ|

(৫) দুডাল সৰলৰেখাই কোনো থাই আগুৰিব নোৱাৰে, ইত্যাদি|

স্বতঃসিদ্ধ, স্বীকাৰ্য আৰু সংজ্ঞাৰপৰা যুক্তিৰ সহায়ত ইয়াৰ সকলোবোৰ উপপাদ্য যে পোৱা গৈছে, সেইটো পিছে ন-দি ক’ব পৰা নাযায়| আজিৰ গণিতজ্ঞই ইউক্লিদৰ ‘Elements’ত বহুতো ত্ৰুটিয়েই দেখে| উদাহৰণস্বৰূপে, সৰলৰেখাৰদ্বাৰা সমতল খণ্ডিত কৰা ধৰণৰ ধাৰণাৰ অন্তঃ ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে— ষোল্ল উপপাদ্যত যেতিয়া কোনো ত্ৰিভুজৰ বহিঃস্থ কোণ দূৰৱৰ্তী অন্তঃকোণতকৈ ডাঙৰ কথাটো প্ৰমাণ কৰা হয়| পিছে ইউক্লিদে লৈ থোৱা স্বতঃসিদ্ধ, স্বীকাৰ্য বা সংজ্ঞাসমূহত সৰলৰেখাৰদ্বাৰা সমতল খণ্ডিতকৰণ ধৰণৰ ধাৰণা নাই| তেনেদৰে সৰ্বসমতা সম্পৰ্কীয় স্বীকাৰ্য নাই| সৰ্বসমতাৰ মূল উপপাদ্যত ঘাইকৈ ‘বোধ’ৰ (intuition) ওপৰতহে গুৰুত্ব দিয়া হৈছে| এনেবোৰ কাৰণতে ইউক্লিদৰ কৃতিখিনি আজি ত্ৰুটিপূৰ্ণ বিবেচিত হয়| সেয়ে ইয়াত আধুনিক মান আৰু ধাৰণাৰ পুংখানুপুংখক অবৰোহ উচিত নহয়| গ্ৰীক গাণিতিক দৰ্শন সম্পৰ্কত তলৰ কথাখিনি প্ৰণিধানযোগ্য|

“জ্যামিতিৰ বস্তুসমূহ বাস্তৱ আৰু জ্ঞাতব্য| ইয়াৰ ধৰ্মসমূহ যেনেতেনে ধৰণে নিশ্চিত কৰা হয়, এইবোৰ স্পষ্টভাৱে কথিত হওক বা নহওক, মৌলিক সাৰখিনি স্পষ্টকৈ ঘোষিত হোৱাৰ দৰকাৰ নাই, যেতিয়ালৈকে বিতৰ্কৰ মাজত নোসোমায়|”

পিছে, তৎস্বত্তেও বেবিলনীয় বা ইজিপ্তৰ জ্যামিতিতকৈ গ্ৰীক বহু উচমানৰ| প্ৰায় দুহেজাৰ বছৰতকৈ বেছি সময় ধৰি ইউক্লিদৰ এই ‘Elements’য়েই আছিল এটা আদৰ্শ (model) গাঁথনি| ইয়াৰ প্ৰভাৱ ইমান গাঢ় বা সৰ্বব্যাপক আছিল যে পুৰণি জ্যামিতিবিদসকলে বেলেগ দিশত এই বিষয়ত চিন্তা-চৰ্চা নকৰিলেই| আমি এই প্ৰবন্ধটিত জ্যামিতিৰ প্ৰধান কথাসমূহ আলোচনা কৰিবলৈ লওঁতে বুৰঞ্জীমূলক পৰিমাপ (survey) এটা কৰি আছো, পাঠকে নিশ্চয় অনুমান কৰিছে| গণিতৰ ক্ষেত্ৰত (সকলো বিষয়ৰ দৰেই) এনেধৰণৰ বুৰঞ্জীমূলক পৰিমাপ অতি ফলপ্ৰসূ বিবেচিত হয়| বীজগণিতে জ্যামিতিৰ কাৰণে বহুতো ভুগিবলগীয়া হৈছিল| কিয়নো বীজগণিতৰ জ্যামিতিকৰণৰ তাত্ত্বিক দিশটো আৰু বিষয়বস্তুৰ উন্মুক্তকৰণ হয় আধুনিক বুৰঞ্জীমূলক গৱেষণাৰ পাছতহে| ইউক্লিদৰ জ্যামিতিৰ প্ৰভাৱ এনে সৰ্বব্যাপী আৰু সৰ্বকালৰ যেন আছিল যে এনে অপ্ৰাকৃতিক আৰু কৃত্ৰিম পদ্ধতিৰেই জ্যামিতি অধ্যয়ন, (স্কুল পৰ্যায়ৰ প্ৰাথমিক স্তৰৰ)— আমাৰ দেশৰ কথা বাদেই— বিদেশতো কুৰি শতিকাৰ মাজলৈকে প্ৰচলিত আছিল| ইউক্লিদীয় পুংখানুপুংখতা আনিবৰ কাৰণে আৰ্কিমিডিচে তেওঁ সাধাৰণতে লোৱা যান্ত্ৰিক পদ্ধতি (এই পদ্ধতি তেওঁৰ বহুতো উত্তম আৱিষ্কাৰৰ গুৰি) শেহান্তৰ সম্পাদনাত নোহোৱা কৰে| শিকাত, শিকোৱাত আৰু আৱিষ্কাৰত— প্ৰত্যেকৰে গাণিতিক পুংখানুপুংখতা নিজা নিজা ধৰণে আছে| নেশা আৰু পেশা দুয়োটাই যদি একে হয় তেতিয়া সোণত সুৱগা চৰে যদিও গ্ৰীক সভ্যতাৰ কথা সুকীয়া| অপেশাদাৰী গণিতৰ ঐতিহ্য যেতিয়ালৈকে আছিল তেতিয়ালৈকে গ্ৰীক জ্যামিতি আগবাঢ়িছিল| ৰাজনৈতিক কাৰণত হঠাতে বন্ধ হোৱা এই ঐতিহ্য পিছে পুনৰুদ্ধাৰ নহ’ল| বীজগণিতীয় কোনো সমস্যাত চলক ৰাশিটোৰ উচ্চতম ঘাত দুই হ’লে ই এটা দ্বিতীয় ঘাতৰ সমস্যা| আমি উল্লেখ কৰা জ্যামিতীয় বীজগণিত মাথোন দ্বিতীয় ঘাতৰ সমস্যাৰে সৈতে জড়িত আছিল| স্কেল আৰু কম্পাছৰদ্বাৰা অঙ্কন সম্পাদন জাতীয় সমস্যাই প্ৰধান| ঘনক এটাৰ দ্বিখণ্ডীকৰণ বা কোণৰ সমত্ৰিখণ্ডকৰণৰ দৰে অধিক ঘাতৰ সমস্যা সমাধানৰ ক্ষেত্ৰত, গ্ৰীক জ্যামিতিবিদসকল $$P=y^2$$ ৰ লেখীয়া সমানুপাতৰ প্ৰায়োগিক সমস্যাত মন দিবলগীয়া হৈছিল| এই সমস্যাটো $$(a+x)x=y^2$$ বা $$x^2+ax-y^2=0$$ এনে ধৰণৰ সমধান জাতীয় সমস্যালৈ আহে| ইয়েই পিছত Orthogonal Hyperbola নাম পায়| প্ৰায়োগিক সমস্যাত সৰলীকৰণৰ ফলস্বৰূপে সাধাৰণ পৰাবৃত্তই দেখা দিয়ে| এনে সমস্যাৰেই অন্য ৰূপত উপবৃত্ত আৰু অধিবৃত্তই দেখা দিয়ে| জ্যামিতিকৰণৰ সাধাৰণ গ্ৰীক মনটোৰে ইউডক্সাচৰ এজন ছাত্ৰ মিনেই চমাচে আৱিষ্কাৰ কৰে যে ওপৰৰ বক্ৰবোৰ এটা শংকু (cone) আৰু এখন সমৰলৰপৰা পোৱা ভিন্ন ধৰণৰ উমৈহতীয়া অংশ| মিনেচ মচৰ কামখিনি আৰ্কমিডিচৰ দ্বাৰা আগবঢ়াই নি এপ’ল’নিয়াচে শেষ কৰে| ৰেনে ডেকাৰ্টৰ জ্যামিতি (১৬৩৭) আছিল জ্যামিতিৰ বীজগণিতীকৰণ| এপ’ল’নিয়াচে য’ত অকৃতকাৰ্য হৈছিল তাৰ পৰা ডেকাৰ্টে আৰম্ভ কৰে| বক্ৰটোৰ স্থানাংক প্ৰয়োগৰ ঠাইত ডেকাৰ্টে তলখনত স্থানাংকৰ প্ৰয়োগ কৰে আৰু এনেদৰে বক্ৰসমূহৰ পাৰস্পৰিক সম্পৰ্ক অধ্যয়ন কৰে|

ডেকাৰ্টৰ পদ্ধতিত এখন সমতলৰ বিন্দুবোৰ বুজোৱা হয় সমতলখনতেই থাকি পৰস্পৰ কটাকটি কৰা দুডাল সৰলৰেখাৰপৰা ইয়াৰ দূৰত্ব দুটা জুখি| সমতলখনৰ ওপৰৰ কোনো লেখ বুজোৱা হয় স্থানাংকবোৰৰ মাজৰ সমীকৰণৰদ্বাৰা| ডেকাৰ্টৰ লগে লগেই ইমানদিনে চলি অহা জ্যামিতিৰ ধ্ৰুপদী (classical) ধাৰাটোৰ যেনিবা অন্ত পৰিল আৰু কলন গণিতৰ ক্ৰমবৰ্দ্ধমান গুৰুত্বত ই যেনিবা কাৰ্যত লোপ পালে|

জ্যামিতিৰ ‘পুনৰুত্থান’ ঘটে ঊনৈছ শতিকাত, অৱশ্যে নিশ্চয়কৈ বেলেগ ৰূপত| কিয়নো সভ্যতাৰ বিকাশ বৃত্তাকাৰ নহয়, সৰ্পীলৰ দৰে (spiral সদৃশ)| ১৮৪৪, ১৮৬১ চনৰ হাৰমান গুঠাৰ গ্ৰাছমেনৰ কামৰ জৰিয়তে n বিমীয় জ্যামিতিৰ ধাৰণা আহে| ক্ৰমিত n সংখ্যক সংখ্যাৰ থূপক n বিমীয় এটা বিন্দু বুজোৱা হয়| সংখ্যাবোৰ হ’ল বিন্দুটোৰ স্থানাংক| দুটা n বিমীয় বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্বৰ সংজ্ঞা দিয়া হ’ল উচ্চতৰ বিমীয়ত পাইথাগোৰাচৰ উপপাদ্যৰ প্ৰয়োগৰদ্বাৰা| একে সময়তে ভেক্টৰ বীজগণিতে ভূমুকি মাৰে ইটালীয় গণিতজ্ঞ গিউছটো বেল্লাভিতিচ্‍ আৰু ইৰিশ গনিতজ্ঞ চাৰ উইলিয়াম ৰোৱান্‌ হেমিল্টনৰ যোগে| ই জ্যামিতিৰ বোধ প্ৰধান ভেটিটোক পৰিৱৰ্তন ঘটায়| n বিমীয় অন্তৰীক্ষত দুটা বিন্দু $$x=(x_1,x_2,dots ,x_n)$$ আৰু $$y=(y_1,y_2,dots ,y_n)$$ ৰ যোগৰ সংজ্ঞা দিয়া হয় এনেদৰেঃ $$x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,dots ,x_n+y_n)$$ | যদি x বিন্দুটোক n বিমীয় অন্তৰীক্ষত মূল বিন্দুটোৰ পৰা বিন্দুটোলৈ কাঁড় চিন দি বুজোৱা হয়, তেনেহ’লে ওপৰৰ এইযোগে বল, বেগ ইত্যাদিৰ যোগৰ অৰ্থ বহন কৰে| দুটা ভেক্টৰৰ আন্তঃপূৰণৰ (inner product) সংজ্ঞাও বল-বিজ্ঞানৰ পৰাই এনেদৰে লোৱা হ’লঃ

$$(x.y)=x_1y_1+x_2y_2+dots +x_ny_n.$$

বল বিজ্ঞানত, দুটা বল ভেক্টৰ x আৰু y আন্তঃপূৰণ হ’ল y ৰ দিশত x ৰ দ্বাৰা কৰা হোৱা কাম| ভেক্টৰৰ অনুপ্ৰেৰণাত নিৰ্ণায়কৰ দৰে নিৰস গণিতিক চিহ্নও চিত্তাকৰ্ষক হৈ উঠিল| ই আছিল এক ঘাতৰ সমীকৰণ সমাধানৰ হাতিয়াৰ|

কুৰি শতিকাৰ আৰম্ভণিতে জাৰ্মান আৰু হাঙ্গেৰীৰ গণিতজ্ঞ কেইজনমানে প্ৰতিনিধিত্ব কৰা বীজগাণিতিক ‘স্কুল’টোৰ দ্বাৰা, ভেক্টৰৰ মাজত সোমাই থকা, জ্যামিতিক সত্ত্বাটো জগাই দিয়া হ’ল|

জ্যামিতিৰ স্থানাংকৰদ্বাৰা বুজোৱাৰ সলনি, ভেক্টৰত থকা ধৰ্মৰ স্বীকাৰ্য ধৰ্মীয়তা কাঢ়ি লৈ ইয়াৰ সহায়ত ভেক্টৰৰ অনুধাৱন তথা অধ্যয়ন আৰম্ভ হ’ল| ফালস্বৰূপে বিমূৰ্ত ভেক্টৰ অন্তৰীক্ষই দেখা দিলে|

এই ভেক্টৰ অন্তৰীক্ষ (vector space) হ’ল এটা সংহতি V যাৰ লগত সংখ্যাৰ এটা ক্ষেত্ৰ (field) F এনেভাৱে জড়িত যে V ৰ মৌলসমূহক সিহঁতৰ ভিতৰতে যোগ কৰিব পাৰি; যোগ সাপেক্ষে ক্ৰমবিনিময় বিধি, সন্মিলন বিধি আদি মানে; শূন্য মৌল আছে| F আৰু V ৰ মৌলসমূহক এটা পূৰণ প্ৰক্ৰিয়াৰে লগ কৰিব পাৰি আৰু লগতে তলৰ নিয়মসমূহ মানেঃ

$$alpha (x+y)=alpha x+alpha y, (alpha +beta )x=alpha x+beta x,$$

$$(alphabeta)x=alpha(beta x), alpha,betain F, x,yin V.$$

Vৰ মৌলসমূহক ভেক্টৰ কোৱা হয়| সমতলত $$e_1$$ আৰু $$e_2$$ এনে দুটা ভেক্টৰ পোৱা সম্ভৱ যে, যি কোনো এটা ভেক্টৰ x ক $$x=alpha_1e_1+alpha_2e_2,$$ এনেধৰণে লিখিব পৰা যায়| $$alpha_1$$ আৰু $$alpha_2$$ ক x ৰ স্থানাংক কোৱা হয়| সাধাৰণ (ত্ৰিবিমীয়) অন্তৰীক্ষত ওপৰৰ ধৰণৰ তিনিটা ভেক্টৰৰ প্ৰয়োজন| V ক n বিমীয় অন্তৰীক্ষ কোৱা হয় যদিহে ইয়াত ওপৰৰ ধৰণৰ n টা মৌল পোৱা যায়| যদি এনে কোনো সীমিত সংখ্যক মৌল পোৱাটো সম্ভৱ নহয়, তেনেহ’লে V অসীম বিমীয়| আধুনিক বিশ্লেষণ তত্ত্বত (analysis) অসীম বিমীয় অন্তৰীক্ষ এটা দৰকাৰী ধাৰণা|

দূৰত্ব বা দৈৰ্ঘ্য, কোণ, সৰ্বাঙ্গসমতা, সদৃশ ইত্যাদিৰ কোনো ধাৰণাই ব্যৱহাৰ নোহোৱাকৈ অৰ্থাৎ মুঠতে ইউক্লিদীয় গোন্ধ নথকাকৈ সোতৰ শতিকাৰ দুটা বিশেষ জ্যামিতিয়ে পোখা মেলে| এটা অৱিষ্কৃত হয় দেছাৰগুছৰদ্বাৰা, আনটো পাস্কেলৰদ্বাৰা| দেছাৰগুছে পৰিপ্ৰেক্ষি ত্ৰিভুজ সম্পৰ্কীয় (perspective triangle) উপপাদ্যটি আগবঢ়ায়| এই উপপাদ্যটিত দুটা ত্ৰিভুজ এনেদৰে লোৱা হ’ল যে যদি অনুৰূপ শীৰ্ষবিন্দুবোৰ সংলগ্ন কৰা ৰেখাবোৰ এটা বিন্দুত মিলে তেতিয়া অনুৰূপ বাহুবোৰৰ ছেদবিন্দুকেইটা একৰেখীয়| আৰু পাস্কেলৰ উপপাদ্যটি হ’ল, এটা শাংকবৰ অন্তৰ্গতকৈ অঁকা ষড়ভুজৰ বিপৰীত বাহু তিনিযোৰ একৰেখীয় তিনিটা বিন্দুত কাটে| ইয়াক পাপ্পাচৰ উপপাদ্য বুলিও জনা যায়| পাপ্পাচ আছিল তৃতীয় শতিকাৰ আলেকজেন্দ্ৰিয়াৰ এজন গ্ৰীক জ্যামিতিবিদ| তেওঁ ওপৰৰ উপপাদ্যটোৰ এটা বিশেষ উদাহৰণ অধ্যয়ন কৰিছিল| আমি জানো যে দুটা কটাকটি কৰা সৰলৰেখা সাধাৰণ শাংকবৰ বিশেষ উদাহৰণ| পাপ্পাচে এনেধৰেণে কটাকটি কৰা দুটা ৰেখাৰ ক্ষেত্ৰত ওপৰত বৰ্ণোৱা ধৰণে সূত্ৰাৱদ্ধ কৰিছিল|

দেছাৰগুছ আৰু পাস্কেলে আগবঢ়োৱা এই দুবিধ জ্যামিতিত ইউক্লিদীয় ধাৰণাৰ সৈতে মিল মাথোন— বিন্দু আৰু সৰলৰেখাৰ উপৰিপতনৰ (incidence)| ইউক্লিদীয় বহু বেমেজালিৰ মাজত সোমাবলগীয়া হোৱা নাছিল যদিও দুটা বা ততোধিক সমান্তৰাল ৰেখাৰ ক্ষেত্ৰত বেছ সাৱধানতা অৱলম্বন কৰিবলগা হৈছিল| দেছাৰগুছৰ উপপাদ্যত, দুটা অনুৰূপ বাহু সমান্তৰাল হ’লে অন্য দুযোৰ বাহুৰ ছেদবিন্দু দুটা প্ৰথম বাহুটোৰ সমান্তৰাল ৰেখা এটাৰ ওপৰত থাকে অথবা ত্ৰিভুজ দুটাৰ অনুৰূপ বাহুবোৰ সমান্তৰাল|

এই সমস্যাবোৰ পাৰ হৈ অহা হয়, অসীমত অৱস্থিত বিন্দুৰ (point at infinity) ধাৰণা দি| এই ধাৰণা অনুসৰি, প্ৰতিটো সৰলৰেখাৰে অসীমত এটা বিন্দু আছে| তেনেদৰে প্ৰতিখন সমতলৰেই অসীমত এটা সৰলৰেখা আছে| এই বিন্দুটো বা সৰলৰেখাটো সকলো সমান্তৰাল ৰেখা বা সমান্তৰাল সমতলৰ বাবে একে|

এনেদৰে সমান্তৰালৰ গোলমলীয়া ধাৰণা নোহোৱা কৰা হ’ল| ওপৰৰ স্বীকাৰ্যটোৱে প্ৰক্ষেপ তল আৰু প্ৰক্ষেপ অন্তৰীক্ষৰ সংজ্ঞা দিলে| ইউক্লিদীয় গোন্ধ উপৰিপতনৰ স্বীকাৰ্যত ৰৈ গ’ল| ঊনৈছ শতিকাৰ জ্যামিতিৰ পুনৰুদ্ধাৰৰ ইঙ্গিত দিওঁতা পঞ্চেলেটেই এটা খেলিমেলি বুলিয়েই মন্তব্য দিয়ে| সত্য আৰু সৰলতাৰ মাজত এটা ওচৰ সম্বন্ধ আছে| এই যুক্তিৰ ওপৰতেই এনেদৰে কোৱা হয় যে ইউক্লিদীয় জ্যামিতিতকৈ নতুন জ্যামিতি বেছি সত্যৰ ওপৰত প্ৰতিষ্ঠিত|

এইখিনিতে প্ৰক্ষেপ জ্যামিতিৰ অলপ আভাস লৈ থওঁহক|

এখন সমতল আৰু ইয়াৰ ওপৰত নথকা এটা বিন্দু লোৱা হ’ল| সমতলখনৰ ওপৰত কোনো চিত্ৰৰ বিন্দুবোৰ আৰু আগতেই লৈ থোৱা বিন্দুটোৰ মাজেৰে ৰেখা টানি অন্য যি কোনো সমতলত ইয়াৰ প্ৰক্ষেপ পাব পাৰি| এনেধৰণে এটা শাংকবে প্ৰক্ষেপণৰদ্বাৰা এখন সমতলত অন্য এটা শাংকব দিয়ে| পিছে কিছুমান ধৰ্ম এনেধৰণৰ প্ৰক্ষেপণৰ যোগে একে নাথাকে| প্ৰক্ষেপ জ্যামিতিত সাধাৰণতে সেইবোৰ ধৰ্ম অধ্যয়ন কৰা হয়, যিবোৰ প্ৰক্ষেপণৰদ্বাৰা একে থাকে (invariant)| সাধাৰণ অন্তৰীক্ষত এটা ৰেখা বা এখন সমতলৰ প্ৰক্ষেপণৰ দৰে ধাৰণাৰ ব্যৱহাৰ খুব কমেই হয়| কাৰণ তেনে ক্ষেত্ৰত এটা বিন্দু বা এটা ৰেখাৰ প্ৰক্ষেপণ ক্ৰমাৎ অসীমলৈ অদৃশ্য হয়| পিছে প্ৰক্ষেপ জ্যামিতিত সাধাৰণতে এই গোলমালৰ মাজত সোমাবলগীয়া এইবাবেই নহয় যে ওপৰত উল্লেখ কৰা ধৰণৰ প্ৰক্ষেপণত গোটেই ৰেখাটো বা সমতলখনৰ ফলন বুলি লোৱা হয়|

ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰপৰা বেলেগে স্বকীয় ৰূপত, প্ৰক্ষেপ জ্যামিতিক প্ৰতিষ্ঠা কৰাৰ চেষ্টাক ফালৱতী কৰাত সহায় কৰে ১৮৪৭ চনত জাৰ্মান গণিতজ্ঞ কাৰ্ল জৰ্জ ক্ৰিশ্বিয়ান হন্‌ষ্টাউদে কেইটামান স্বীকাৰ্য আৰোপ কৰিঃ

১) দুটা বিন্দুই এডাল সৰলৰেখা নিৰ্ণয় কৰে|

২) দুখন সমতলে এডাল সৰলৰেখা নিৰ্দ্ধাৰণ কৰে|

৩) একে ৰেখাত নথকা বিন্দুৱে এখন সমতল নিৰ্দ্ধাৰণ কৰে|

এটা সৰলৰেখাত বিশেষ ধৰণে পোৱা চাৰিটা বিন্দুৰ ক্ৰমিত থূপক হৰাত্মক (harmonic) বোলে| ইয়াৰ পিছত প্ৰক্ষেপৰ সংজ্ঞা দিয়া হয় এনেদৰে— ই হ’ল এটা ফলন যি হৰাত্মকতাৰ পৰিৱৰ্তন নঘটায়|

ভনষ্টাউদে প্ৰক্ষেপ জ্যামিতিক জ্যামিতিৰ সহায়ত বীজগণিতীয়কৰণ কৰে| পিছে এই ক্ষেত্ৰত খোকোজা লগা খাপ এটা ৰৈ যায়| সি হ’ল ৰেখা আৰু সমতলৰ বোধভিক্তিক (intuitive) ক্ৰম সম্পৰ্ক| কাৰণ, এই ক্ষেত্ৰত ইয়াৰ কোনো বিশদ সংজ্ঞা দিয়া হোৱা নাছিল| ১৮৭১-৭২ চনত দুজন প্ৰখ্যাত গণিতজ্ঞ কেণ্টৰ আৰু ডেদিকান্দে এই ত্ৰুটিখিনি আঁতৰাই প্ৰক্ষেপ জ্যামিতিক স্বকীয়তা প্ৰদান কৰে তিনিটা প্ৰধান স্বীকাৰ্য দি| সেইকেইটা হ’ল:

১) উপৰি পতনৰ স্বীকাৰ্য (Axiom of incidence)|

২) প্ৰক্ষিপ্ত ৰেখাৰ চক্ৰীয় ক্ৰম আৰু প্ৰক্ষেও ফলনৰদ্বাৰা ইয়াৰ অপৰিৱৰ্তনীয়তা|

৩) এক বিশেষ ধৰণৰ আৰ্কিমিডীয় স্বীকাৰ্য|

সাধাৰণ অন্তৰীক্ষত প্ৰক্ষেপ সমতলৰ আদৰ্শ সজ্জা (model structure) এটা এনে ধৰণৰঃ

এখন সমতলৰ বাহিৰত O এটা বিন্দু| সমতলখনৰ ওপৰৰ এটা P ক OP ৰেখাটোলৈ আৰু সমতলখনৰ এটা ৰেখা 1 ক O আৰু 1 ৰ মাজেৰে যোৱা এখন সমতললৈ পৰিৱৰ্তন কৰা হয়| O ৰে যোৱা ৰেখা আৰু সমতলে উপৰি পতনৰ সম্পৰ্কৰ সহিতে প্ৰক্ষেপ সমতলৰ বিন্দু আৰু ৰেখা বুজাব|

এনেদৰেই প্ৰক্ষেপ n অন্তৰীক্ষ হ’ল ওপৰৰ ধৰণৰ n+1 বিমীয় এক অন্তৰীক্ষ| প্ৰক্ষেপ n অন্তৰীক্ষৰ বিন্দু এটা n+1 স্থানাংকযুক্ত ক্ৰমিত সংখ্যাৰ থূপ| $$(zeta_0,zeta_1,zeta_2,dots ,zeta_n)$$ এনে দুটা n+1 ক্ৰমিত সংখ্যাই একে বিন্দু বুজাব যদিহে ইহঁত সমানুপাতী হয়|

ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ স্বতঃসিদ্ধ তথা স্বীকাৰ্যবোৰত বহুতো তৰ্কাতীত কথা থাকিলেও, এইবোৰৰ ভিতৰত এটা প্ৰখ্যাত বিতৰ্কমূলক বোধভিত্তিক কথা হ’ল— কোনো দুটা সৰলৰেখাৰ ওপৰৰ বেলেগ এটা সৰলৰেখা থিয় হ’লে ৰেখাডালৰ যিটো ফালৰ অন্তঃকোণ দুটাৰ যোগফল দুই সমকোণতকৈ কম হয় সেইফালে ৰেখা দুডাল বঢ়াই দিলে ইহঁত এটা বিন্দুত মিলিব| এই স্বীকাৰ্যটোৰ সমতুল্য সহজবোধ্য এটা ব্যাখ্যা হ’ল: কোনো এটা নিৰ্দিষ্ট সৰলৰেখাৰ ওপৰত নথকা এটা বিন্দুৰে সৰলৰেখাটোৰ সমান্তৰালকৈ মাথোন এটা সৰলৰেখা টানিব পাৰি| ইয়াক আৰু অলপ বেলেগ ধৰণে ব্যাখ্যা কৰা হয়: সমতলীয় ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ ক্ষেত্ৰত যদি 1 এটা নিদিৰ্ষ্ট ৰেখা আৰু p, 1 ৰ বাহিৰৰ এটা বিন্দু হয়, তেনেহ’লে p ৰ মাজেৰে 1 ক লগ নধৰাকৈ মাত্ৰ এটা ৰেখা পোৱা যায়| ইউক্লিদৰ ওপৰত মন্তব্য দিয়াসকলে এনে ধৰণৰ কল্পনাৰ প্ৰয়োজনক এটা ত্ৰুটি বুলিয়েই লয়| জ্যাঁ ৰণ্ড দ্য এলেম্‌বাৰ্টে ইয়াক এটা কলংক বুলিয়েই কৈছে| ৪৫০ খ্ৰী.ত প্ৰক্লাচ নামৰ এজনে এই স্বীকাৰ্যটোৰ সমালোচনা কৰি কয় যে ইয়াক বাদ দিয়াই ভাল| ই বহুতো সমস্যা জড়িত এটা উপপাদ্য| ওপৰত ব্যাখ্যা কৰা মতে সৰলৰেখা দুটা যিহেতু অভিসাৰী, সাধাৰণ ধাৰণাৰে সিহঁতক বঢ়াই দিলে কেতিয়াবা যে ইহঁত লগ লাগিব| সেয়া স্বাভাৱিক প্ৰশংসনীয় অনুমান যে হ’লেও নিশ্চিত নহয়| গ্ৰীকসকলে এই বিষয়ে বহুতো কঠিন অনুশীলনী কৰি থৈ গৈছে| ইউক্লিদীয় অন্য স্বতঃসিদ্ধ তথা স্বীকাৰ্যসমূহৰ পৰাই ইয়াক পাব পাৰি বুলি প্ৰমাণ কৰিবলৈও বহুতো চেষ্টা কৰা হৈছে| পিছে ফলৱতী হোৱা নাই| গণিতৰ অগ্ৰগতিৰ পৰৱৰ্তী কালত জ্যামিতিৰ এনে ধৰণৰ ভাষ্য পোৱা গ’ল য’ত উপযুক্ত কল্পনা সত্য নহয়| ফলস্বৰূপে ইউক্লিদৰ ধাৰণা খুঁত মুক্ত নহয় বুলি ধৰা গ’ল| ইতিমধ্যে গাঢ় হৈ থকা একমাত্ৰ বুলি ভবা, জ্যমিতিৰ ধাৰণা ভুল সাব্যস্ত হ’ল| কাৰণ পৰৱৰ্তী কালত ভিন্ন ধৰণৰ জ্যামিতিৰ ধাৰণা আহিল য’ত ভিন্ন ধৰণৰ উপপাদ্য সত্য হয়| অৱশ্যে এইবোৰৰ উদ্‌ঘাটনতো সময় ল’লে বহুত| এই বিলম্বৰ কাৰণ এয়ে যে প্ৰতিজনেই জ্যামিতিক ‘প্ৰকৃতিৰ প্ৰকৃতি’ (nature of nature) বুলি ধৰে— মানৱ মনৰ গাঁথনি বুলি নাভাবে| শেষত প্ৰকৃতিৰ প্ৰকৃত জ্যামিতি কেনে ধৰণৰ এই প্ৰশ্নটো যে এটা যথাৰ্থ প্ৰশ্ন সেয়া উপলব্ধি হৈছিল|

অইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰ বিষয়ে সবিশেষ আলোচনা কৰাৰ আগতে এই সন্দৰ্ভত প্ৰকৃতিৰ প্ৰকৃত জ্যামিতি সম্পৰ্কে বিখ্যাত বিজ্ঞানী এলবাৰ্ট আইনষ্টাইনৰ ব্যাখ্যা আমি মন কৰোহঁক|

আগতেই আইনষ্টাইনে ব্যাখ্যা কৰা ধাৰণা-শূন্য লৈখিক সজ্জাটোৰ কথা উল্লেখ কৰি অহা হৈছে| স্বতঃসিদ্ধ তথা স্বীকাৰ্য ধৰ্মীয় জ্যামিতিত এই ধাৰণা শূন্য লৈখিক সজ্জাৰ সৈতে, অভিজ্ঞতাৰ বাস্তৱ বস্তুবোৰৰ এটা সমন্বয়ৰ আৱশ্যক| এনে ধৰণৰ সমন্বয় সাধনৰ বাবে আমি তলত দিয়া কথাখিনি সংযোগ কৰিব লাগিবঃ “সম্ভাৱ্য সজ্জাৰ স’তে সম্পৰ্কিত হৈ থকা গোটা বস্তুসমূহ ইউক্লিদীয় ত্ৰিমাত্ৰীয় জ্যামিতিৰ বস্তুবিশেষ|” আৰু তেতিয়া ইউক্লিদৰ উপপাদ্যসমূহ দৃঢ় বস্তুৰ আচৰণৰ ক্ষেত্ৰতো সত্য হ’ব|

এনেদৰে জ্যামিতি এক প্ৰাকৃতিক বিজ্ঞানেই| অভিজ্ঞতাৰপৰা সংশ্লেষণৰ যোগে ইয়াৰ সত্যতা প্ৰমাণিত হয়| অকল যৌক্তিক সিদ্ধান্ত প্ৰক্ৰিয়াৰদ্বাৰা নহয়| এই পূৰ্ণ জ্যামিতিক আইনষ্টাইনে নাম দিছে ‘প্ৰায়োগিক জ্যমিতি’| ই হ’ল পদাৰ্থবিদ্যাৰ আটাইতকৈ পুৰণি শাখা| মৌলিক স্বীকাৰ্য-ধৰ্মীয় জ্যামিতিৰ পৰা ই বেলেগ| ওপৰৰ ব্যাখ্যাৰপৰা বিশ্বব্ৰহ্মাণ্ডৰ প্ৰায়োগিক জ্যামিতি ইউক্লিদীয় নে অইউক্লিদীয়— এনে ধৰণৰ প্ৰশ্নৰ যথাৰ্থতা উপলব্ধি কৰিব পাৰি| ইয়াৰ উত্তৰ কেৱল অভিজ্ঞতাৰ দ্বাৰাহে দিব পাৰি| এনে অৰ্থতেই পদাৰ্থবিজ্ঞানত সকলো ধৰণৰ দৈৰ্ঘ্যৰ জোখ প্ৰায়োগিক জ্যামিতিৰ অন্তৰ্গত| পোহৰৰ গতিৰ ঋজুৰেখীয় ধৰ্মও আচলতে প্ৰায়োগিক জ্যামিতিৰ অৰ্থতহে|

আইনষ্টাইনে কৈছিল যে, জ্যামিতিৰ ওপৰৰ ধৰণৰ দৃষ্টিভংগী অবিহনে বিখ্যাত আপেক্ষিকতাবাদ তত্ত্বক সূত্ৰৰ অন্তৰ্গত কৰাই অসম্ভৱ হ’লহেঁতেন| আমি যদি স্বীকাৰ্য-ধৰ্মীয় ইউক্লিদীয় জ্যামিতি আৰু বাস্তৱৰ বাস্তৱিক দৃঢ় বস্তুৰ মাজৰ সম্পৰ্ক মানি নলওঁ তেনেহ’লে এইছ. পঁইকেয়াৰৰ দ্বাৰা ব্যাখ্যাকৃত তলৰ মতটো পাওঁ:

সকলো ধৰণৰ স্বীকাৰ্য-ধৰ্মীয় জ্যামিতিতকৈ ইউক্লিদীয় জ্যামিতিয়েই আটাইতকৈ সৰল আৰু সহজবোধ্য| ইউক্লিদীয় জ্যামিতিয়ে বাস্তৱৰ সৈতে কোনো ধৰণৰ বুজাবুজিৰ প্ৰয়োজন নোহোৱাকৈ চলে আৰু বাস্তৱৰ লগত সহযোগিতা কৰিবলৈ হ’লে ইয়াৰ লগত ভৌতিক নিয়মসমূহৰ সংযোগ হ’ব লাগে| সেয়ে বাস্তৱ প্ৰকৃতি যেনেকুৱাই নহওক কিয় ইউক্লিদীয় জ্যামিতিক সদা বিৰাজমান কৰি ৰখাটো সম্ভৱপৰ আৰু যুক্তিসংগত|

পঁইকেয়াৰে আৰু অন্য কিছুমানে বাস্তৱিক দৃঢ় বস্তু আৰু জ্যামিতিৰ ‘জ্যামিতিক’ বস্তুৰ মাজৰ সমতুল্যতা নাকচ কৰা্ৰ কাৰণটো এয়াই যে বাস্তৱৰ কঠিন বস্তুবোৰ দৃঢ় (rigid) নহয়| এনেদৰেই জ্যামিতিক আৰু ভৌতিক বাস্তৱতাৰ তাত্‍ক্ষণিক সম্পৰ্ক নষ্ট হয়| এইবাবেই পঁইকেয়াৰে গুৰুত্ব আৰোপ কৰা বেছি সৰলীকৃত ধাৰণাক গুৰুত্ব দিব লগা হয়|

জ্যামিতিয়ে (G) বাস্তৱ বস্তুৰ আচৰণ সম্পৰ্কে একো নকয়| জ্যামিতিৰ লগত ভৌতিক নিয়মৰ সামগ্ৰিক গুণ (P) লগ লাগিলেহে এনে ব্যাখ্যা সম্ভৱ| (G + P) এই যোগফলেহে পৰীক্ষাগত সত্যাপনৰ সপক্ষত থাকে| (P)ৰ একাংশ আৰু (G)ক ইচ্ছামতে ল’ব পাৰি| এইখিনি নিৰ্ভৰ কৰে বাছনিৰ ওপৰত| বিৰোধৰ পৰা হাত সাৰিবলৈ গুৰুত্ব দিবলগীয়া কথা হ’ল (P)ৰ বাকী অংশখিনি এইখিনি এনেদৰে ল’ব লাগিব যাতে (G) আৰু (P)য়ে অভিজ্ঞতা পৰীক্ষা (experience)ব্যাখ্যা কৰে|

প্ৰকৃতিৰ প্ৰকৃত জ্যামিতিৰ সন্দৰ্ভত কৰা চিন্তা-চৰ্চাই গণিতজ্ঞসকলৰ বহুতো নতুন ধাৰণাৰ লগত পৰিচয় কৰাই দিয়াত সহায় কৰে| আগতেই কৈ অহা হৈছে যে ইউক্লিদৰ সমান্তৰাল সৰলৰেখাৰ স্বীকাৰ্য প্ৰতিপাদ্য কৰিবলৈ বহুতো গণিতজ্ঞই বহুধৰণে চেষ্টা কৰে| বহুতো গণিতজ্ঞই বহুতো ধুনীয়া প্ৰমাণ পোৱা বুলি দাবী কৰে যদিও বাস্তৱত সেইবোৰবো ভেটি থাকে ইউক্লিদৰ কল্পনাৰ সমতুল্য অন্য কোনো অপ্ৰমাণিত ধাৰণাত|

ইউক্লিদীয় জ্যামিতিৰপৰা বিভিন্ন ধৰণৰ অইউক্লিদীয় জ্যামিতিলৈ বুলি হোৱা জ্যামিতিৰ ক্ৰমবিকাশখিনি আমি ইয়াৰ পিছৰ অধ্যায়ত আলোচনা কৰিম|

লেখকৰ “গণিত : এটি বিৰক্তিকৰ বিষয়!” গ্ৰন্থখনৰ পৰা।