02 Oct State Level Mathematics Competition-2013-Category-II : Assam Academy of Mathematics
01 September 2013
(Class VII and VIII)
Marks: 5 X 20 = 100
Time: 1.30 pm to 4.30 pm
Answer the following questions
1. If the radius of a circle is increased by 100%, determine the increase percent in the area of the circle.
এটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্দ্ধ 100% বৃদ্ধি হ’লে বৃত্তটোৰ কালিৰ বৃদ্ধি শতাংশত নিৰ্ণয় কৰা।
2. What is the largest area of the triangle increased in a semicircle of radius r?
r ব্যাসাৰ্দ্ধৰ অৰ্ধবৃত্ত এটাৰ অন্তৰ্লিখিত ত্ৰিভূজৰ কালিৰ বৃহত্তম মান নিৰ্ণয় কৰা।
3. If $$(r+frac{1}{r})^2=3,$$ find $$r^3+frac{1}{r^3}.$$
$$(r+frac{1}{r})^2=3$$ হ’লে $$r^3+frac{1}{r^3}$$ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
4. If $$ax^3+bx+c$$ is exactly divisible by $$x^2+mx-1,$$ then find the relation connecting a, b and c.
যদি $$ax^3+bx+c$$ ৰাশিটো $$x^2+mx-1$$ ৰ দ্বাৰা বিভাজ্য হয়, তেনেহ’লে a, b আৰু c ৰ মাজৰ সম্পৰ্ক স্থাপন কৰা।
5. If $$x+frac{1}{x}=-1,$$ find $$x^{99}+frac{1}{x^{99}}.$$
যদি $$x+frac{1}{x}=-1$$ হয়, $$x^{99}+frac{1}{x^{99}}$$ ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
(Hint: $$a_n=x^n+frac{1}{x^n}.$$)
6. There are two kinds of currency notes of denomination x and y. Let a pieces of x-rupee notes or b pieces of y-rupee notes make a total of S rupees. If a man wants to pay an amount of S rupees using c pieces of notes, then how many pieces of each of the two denominations will be used?
x টকীয়া আৰু y টকীয়া দুবিধ নোট আছে। x টকীয়া a খন নোটৰ বা y টকীয়া b খন নোটৰ মূল্য S টকা। এজন মানুহে c খন নোটেৰে S টকা দিব বিচাৰিলে, তেওঁ দিবলগীয়া প্ৰতিবিধ নোটৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
7. ABC is a triangle right angled a A and p is the length of perpendicular from A to BC. Show that $$frac{1}{p^2}=frac{1}{b^2}+frac{1}{c^2}.$$ (b=AC and c=AB.)
ABC ত্ৰিভূজৰ A এটা সমকোণ। A ৰ পৰা BC লৈ টনা লম্বৰ দৈৰ্ঘ্য যদি p হয়, প্ৰমাণ কৰা যে $$frac{1}{p^2}=frac{1}{b^2}+frac{1}{c^2}$$ । (b=AC আৰু c=AB ।)
8. The base of a rectangle is increased by 10% and area is unchanged, find the percentage of decrease in altitude.
এটা আয়তক্ষেত্ৰৰ ভূমি 10% কৈ বাঢ়ে, কিন্তু কালিৰ কোনো পৰিবৰ্ত্তন নহয়। আয়তক্ষেত্ৰৰ উচ্চতা শতকৰা কি হাৰত কমে নিৰ্ণয় কৰা।
9. Consider any three consecutive integers. Prove that the cube of the largest cannot be equal to the sum of the cubes of the other two.
তিনিটা ক্ৰমিক অখণ্ড সংখ্যাৰ আটাইতকৈ ডাঙৰটোৰ ঘন বাকী দুটাৰ ঘনৰ সমষ্টিৰ সমান হ’ব নোৱাৰে বুলি প্ৰমাণ কৰা।
10. Out of 26 people, 8 people take tea but not coffee and 16 take tea. How many take coffee but not tea?
26 জন মানুহৰ ভিতৰত 8 জনে চাহ খায় কিন্তু কফি নাখায় আৰু 16 জনে চাহ খায়। কিমান জনে কফি খায় কিন্তু চাহ নাখায় নিৰ্ণয় কৰা।
11. If p and q are odd integers, prove that the equation $$x^2+2px+2q=0$$ has no integral solution.
p আৰু q দুটা অখণ্ড সংখ্যা। প্ৰমাণ কৰা যে $$x^2+2px+2q=0$$ সমীকৰণটোৰ কোনো অখণ্ড মূল নাই।
12. To complete a certain work A requires m times as long as B and C together take; B requires n times as long as A and C together; and C requires p times as long as A and B together. Compare the times at which each would do it and prove that $$frac{1}{m+1}+frac{1}{n+1}+frac{1}{p+1}=1.$$
এটা কাম B আৰু C ক একেলগে কৰিবলৈ যিমান সময় লাগে A ক সেই সময়ৰ m গুণ লাগে। A আৰু C ক একেলগে প্ৰয়োজনীয় সময়ৰ n গুণ B লাগে। A আৰু B ক একেলগে প্ৰয়োজনীয় সময়ৰ p গুম সময় লাগে C ক। প্ৰত্যেকৰে প্ৰয়োজনীয় সময়ৰ তুলনা কৰা আৰু দেখুউৱা যে $$frac{1}{m+1}+frac{1}{n+1}+frac{1}{p+1}=1$$ ।
13. The length of sides CB and CA of $$triangle ABC$$ are a and b and angle between them is $$C=120^{circ}.$$ Show that $$frac{1}{v}=frac{1}{a}+frac{1}{b}$$ where v is the length of bisector of the angle C.
$$triangle ABC$$ ৰ CB আৰু CA বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে a আৰু b, দুই বাহুৰ মাজৰ কোণৰ মাপ $$C=120^{circ}$$ । দেখুউৱা যে $$frac{1}{v}=frac{1}{a}+frac{1}{b},$$ য’ত v, C কোণৰ সমদ্বিখণ্ডকৰ দৈৰ্ঘ্য।
14. There is an equilateral triangle of which the side is 2m. With all the three corners as centres, circles are described with radius 1m each. Calculate the area include between the three circles.
2 মিটাৰ দৈৰ্ঘ্যৰ এটা সমবাহু ত্ৰিভূজৰ প্ৰতিটো শীৰ্ষবিন্দুক কেন্দ্ৰ কৰি 1 মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ তিনিটা বৃত্ত অঁকা হ’ল। এই তিনিটা বৃত্তই আগুৰা সমতল ক্ষেত্ৰৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
15. A train A starts to go from station P to Q, which are 240km apart, and travels uniformly. An hour later another train B starts from P, and after travelling for 2 hours, comes to a point that A had passed 45 minutes previously. The pace of B is now increased by 5 km an hour, and overtake A just on entering Q. Find the rate at which they started.
P আৰু Q ষ্টেচন দুটাৰ মাজৰ দুৰত্ব 240 কি.মি.। ৰেলগাড়ী A ই সমবেগত P ৰ পৰা Q লৈ যাত্ৰা আৰম্ভ কৰাৰ 1 ঘণ্টাৰ পিছত ৰেলগাড়ী B ৰ যাত্ৰা আৰম্ভ কৰিলে। 2 ঘণ্টা সমবেগত চলাৰ পিছত B য়ে যি স্থান পালে, সেই স্থান A য়ে 45 মিনিট পূৰ্বে পাৰ হৈছে। সেই স্থানৰ পৰা B ৰ গতিবেগ ঘণ্টাত 5 কি.মি. কৈ বঢ়াই দি প্ৰথম গাড়ীখনক Q ষ্টেচনত অতিক্ৰম কৰিলে। গাড়ী দুখনৰ প্ৰাৰম্ভিক বেগ কিমান আছিল?
16. Show that the roots of the equation
$$(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=0$$ are real.
দেখুওৱা যে $$(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=0$$ সমীকৰণটোৰ দুয়োটা বীজ বাস্তৱ।
17. Show that $$x^4-y^4=3789108$$ has no integral solution.
দেখুওৱা যে $$x^4-y^4=3789108$$ সমীকৰণটোৰ অখণ্ড মূল নাই।
18. Show that (দেখুওৱা যে) $$1000^{1000}>1001^{999}.$$
19. What is the last digit of $$7^{111}$$ ?
$$7^{111}$$ ৰ শেষৰ অংকটো কি হ’ব নিৰ্ণয় কৰা।
20. The product of two numbers is 19712 and their HCF is 16. Find all such possible pairs of numbers.
দুটা অখণ্ড সংখ্যাৰ গুণফল 19712 আৰু সংখ্যা দুটাৰ গ.সা.গু. 16 । এনেধৰণৰ সংখ্যাৰ যোৰবোৰ নিৰ্ণয় কৰা।
